Topologie des e.v.n

Salut.
$A$ un fermé.
Une idée serait de considérer les ouverts $A_n = A\cup\{x\;|\;d(x, A)\lt \frac1n \}$ où $d$ est la distance induite.

Il suffit de montrer que F est une intersection dénombrable d'ouverts ! Soit On
On prend alors la suite O'n= inter Oi , i de 1 à n

O'n est décroissante et convient

Tu peux continuer ?

@Babacar : Euh... Dans $\R$, si $A=[-1,1]$, alors $A_n=\bigl]-1-\frac1n,1+\frac1n\bigr[$. La suite $(x_n)$ définie par $x_n=(-1)^n$ se serait-elle mise à converger dans la nuit sans qu'on me prévienne ?

Je l'aide dans sa méthode. Il suffit qu'il montre que ^$x_n$ a tous ses termes dans $\cap A_n$ donc sa limite (si elle existe bien sûr).
Je vois pas le rapport avec ton exemple. As-tu lu sa question ?

Puisqu'ibtissame a compris, je réponds à Babacar : la suite d'intervalles $(A_n)$ est la suite que tu as toi-même proposé de définir – c'était même une bonne idée.

En revanche, prendre une suite quelconque dans l'intersection des $A_n$ n'est pas une bonne idée puisqu'elle n'a aucune raison de converger. C'est ce que je voulais souligner.

Prendre une suite convergente dans l'intersection des $A_n$ n'est pas non plus utile. Il suffit de prendre un point $x$ dans l'intersection des $A_n$. Pour tout $n\ge1$, la distance de $x$ à $A$ est inférieure à $1/n$ donc elle est nulle. Comme $A$ est fermé, cette condition entraîne que $x$ appartient à $A$ (pour le montrer, on peut par exemple prendre une suite $(a_p)_{p\in\N^*}$ d'éléments de $A$ – et pas de l'intersection des $A_n$ – telle que $d(x,a_p)\le 1/p$ pour tout $p$ : elle converge donc vers $x$ et $x\in A$ puisque $A$ est fermé).

(En passant, utiliser la même variable (sans la mutifier) pour la suite de points et pour la suite d'intervalles n'est pas non plus une bonne idée.)

On veut démontrer qu'un fermé $A$ dans un evn $E$ est l'intersection d'une suite décroissante d'ouverts. La clé, c'est d'introduire la suite $(A_n)_{n\ge1}$ des ouverts définie par $A_n=\{x\in E,\ d(x,A)<1/n\}$ (ça me plairait que tu m'expliques pourquoi c'est un ouvert, au passage). Je le redis : c'est ce que tu as proposé et c'est une très bonne idée.

En revanche, ce que tu proposes comme indication pour montrer que $A=\bigcap_{n\ge1}A_n$, à savoir prendre une suite d'éléments de l'intersection des $A_n$, ce n'est pas correct. Bien sûr, $A\subset A_n$ pour tout $n$, c'est l'inclusion inverse qu'il faut montrer. Pour cela, il ne faut pas prendre une suite d'éléments de l'intersection mais un élément $x$ de l'intersection. Plus ou moins par définition, cela veut dire que l'élément $x$ est à distance nulle de $A$. Comme $A$ est fermé, cela implique que $x$ est dans $A$. Pour le démontrer, il ne faut toujours pas prendre une suite à valeurs dans l'intersection mais une suite à valeurs dans $A$. Si tu ne vois pas la différence, c'est un problème.

Non : 1) tu ne montres rien, du moins tu n'as rien montré jusque là ; 2) si tu pars avec une suite quelconque d'éléments de l'intersection, tu montres seulement que l'intersection est un fermé, pas que c'est le plus petit qui contient $A$.

Là, on parle d'une preuve qui n'existe pas sur des objets qui existent. C'est toujours mieux que de parler d'objets qui n'existent pas – c'est-à-dire sur lesquels il n'y a aucun discours cohérent à tenir, aucun théorème à démontrer, aucun avatar dans le monde mathématique ni réel.