Bonjour
Ce topic
m'a intriguée, j'ai eu du mal et finalement j'ai demandé de l'aide à des amis moins rouillés que moi, qui m'ont mise sur la voie et que je remercie si jamais ils passent par ici. Donc voici un exemple, avec des indications. Si ça intéresse encore quelqu'un je peux mettre des détails.
Préliminaires: Soit $A=\N\cup\{1/m\mid m\geq 2\}.$ Soit $\varphi:A\to A$ définie par \begin{align*}
\varphi(0)&=0\quad\text{et }\ \varphi(1)=1 \\
\varphi(2n)&=1/(2n)\ {\rm si}\ n\geq 1\\
\varphi(2n+1)&=n+1\ {\rm si}\ n\geq 1 \\
\varphi(1/q)&=1/(2q-1) \ {\rm si}\ q\geq 2
\end{align*} Cette fonction est bijective de $A$ sur $A$ et pour tout $a\in A$ on a $\varphi(a)\leq a.$
Espace $X.$ On se place dans $\R^2$ euclidien. On pose
$S_0=\{0\}\times [0,1]$ et pour tout $a\in A$ tel que $a>0$, on pose $S_a=\{x+ay=a\mid 0\leq x\leq a\}$
Dans tous les cas, $S_a$ est le segment d'extrémités $(0,1)$ et $(a,0)$. Enfin, $$ X=\bigcup_{a\in A}S_a,$$ $X$ est connexe.
Définition de $f:X\to X.$
$f(0,y)=(0,y)$ Si $x>0,$ il existe un et un seul $a\in A$ tel que $x\in S_a,$ c'est-à-dire tel que $x=a(1-y)$. On pose $f(x,y)=(\varphi(a)(1-y),y)$ et dans tous les cas $f(S_a)\subset S_{\varphi(a)}$ donc $f$ va bien de $X$ dans $X.$
Propriétés de $f$:
$f$ est bijective : On vérifie facilement que pour $(x',y')\in S_b$ on a $f^{-1}(x',y')=(\varphi^{-1}(b)(1-y'),y')$.
$f^{-1}$ n'est pas continue. On utilise le fait que $(1/(2n),0)\rightarrow (0,0)$ et que $f^{-1}(1/(2n),0)=(2n,0)$.
$f$ est continue. Là il y a du boulot ! On montre que l'image de chaque suite convergente de $X$ converge. On prend une suite $(x_n,y_n)$ qui tend vers $(x,y)$ et on traite séparément les cas $x>0$ et $x=0.$
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
