Homéomorphisme entre connexes

Tu peux prendre par exemple l'application $t \mapsto \exp(it)$ de $[0, 2\pi[$ dans $\mathbb S^1$ munis de leurs topologies usuelles.

Bonjour

Ce topic m'a intriguée, j'ai eu du mal et finalement j'ai demandé de l'aide à des amis moins rouillés que moi, qui m'ont mise sur la voie et que je remercie si jamais ils passent par ici. Donc voici un exemple, avec des indications. Si ça intéresse encore quelqu'un je peux mettre des détails.

Préliminaires: Soit $A=\N\cup\{1/m\mid m\geq 2\}.$ Soit $\varphi:A\to A$ définie par \begin{align*}
\varphi(0)&=0\quad\text{et }\ \varphi(1)=1 \\
\varphi(2n)&=1/(2n)\ {\rm si}\ n\geq 1\\
\varphi(2n+1)&=n+1\ {\rm si}\ n\geq 1 \\
\varphi(1/q)&=1/(2q-1) \ {\rm si}\ q\geq 2
\end{align*} Cette fonction est bijective de $A$ sur $A$ et pour tout $a\in A$ on a $\varphi(a)\leq a.$

Espace $X.$ On se place dans $\R^2$ euclidien. On pose
$S_0=\{0\}\times [0,1]$ et pour tout $a\in A$ tel que $a>0$, on pose $S_a=\{x+ay=a\mid 0\leq x\leq a\}$

Dans tous les cas, $S_a$ est le segment d'extrémités $(0,1)$ et $(a,0)$. Enfin, $$ X=\bigcup_{a\in A}S_a,$$ $X$ est connexe.

Définition de $f:X\to X.$
$f(0,y)=(0,y)$ Si $x>0,$ il existe un et un seul $a\in A$ tel que $x\in S_a,$ c'est-à-dire tel que $x=a(1-y)$. On pose $f(x,y)=(\varphi(a)(1-y),y)$ et dans tous les cas $f(S_a)\subset S_{\varphi(a)}$ donc $f$ va bien de $X$ dans $X.$

Propriétés de $f$:
$f$ est bijective : On vérifie facilement que pour $(x',y')\in S_b$ on a $f^{-1}(x',y')=(\varphi^{-1}(b)(1-y'),y')$.

$f^{-1}$ n'est pas continue. On utilise le fait que $(1/(2n),0)\rightarrow (0,0)$ et que $f^{-1}(1/(2n),0)=(2n,0)$.

$f$ est continue. Là il y a du boulot ! On montre que l'image de chaque suite convergente de $X$ converge. On prend une suite $(x_n,y_n)$ qui tend vers $(x,y)$ et on traite séparément les cas $x>0$ et $x=0.$

Bonjour Seirios.


Ton exemple est indiscutable, mais je me pose une question: cet $X$ est-il plongeable dans un $\R^n$?

Une question naïve : les deux exemples sont-ils métriques (comme la question initiale le demandait) ?
Avec le plongement de Math Coss j'ai l'impression que la métrique induite de $\mathbf{R}^2$ ne donne pas la topologie voulue.

Au passage, l'exemple de Serios est vraiment astucieux !

Si un énoncé comme ça était vrai alors une application linéaire bijective continue d'un espace vectoriel normé dans lui-même serait toujours un homéomorphisme. Soit $E$ l'ensemble des suites réelles nulles à partir d'un certain rang, muni de la norme $x \mapsto \|x \|_{\infty}:= \sup \{ |x_p| : p \geq 0\}$ et soit $\varphi: (x_n)_{n \in \N} \mapsto \left ( \frac{1}{n} x_n \right )_{n \in \N}$.
Alors $\varphi$ fournit un contre-exemple à l'énoncé de départ.

Oui évidemment tu as raison Seirios, merci.