Homéomorphisme entre connexes
Bonsoir à toutes et à tous,
J'aurais une question de topologie à vous poser :
Soient $(X,d_X)$ et $(Y,d_Y)$ deux espaces métriques connexes et homéomorphes, et $f$ une application bijective continue entre ces deux espaces, est-il toujours vrai que $f$ est un homéomorphisme ?
Merci par avance pour vos réponses.
J'aurais une question de topologie à vous poser :
Soient $(X,d_X)$ et $(Y,d_Y)$ deux espaces métriques connexes et homéomorphes, et $f$ une application bijective continue entre ces deux espaces, est-il toujours vrai que $f$ est un homéomorphisme ?
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Réponses
Ce topic m'a intriguée, j'ai eu du mal et finalement j'ai demandé de l'aide à des amis moins rouillés que moi, qui m'ont mise sur la voie et que je remercie si jamais ils passent par ici. Donc voici un exemple, avec des indications. Si ça intéresse encore quelqu'un je peux mettre des détails.
Préliminaires: Soit $A=\N\cup\{1/m\mid m\geq 2\}.$ Soit $\varphi:A\to A$ définie par \begin{align*}
\varphi(0)&=0\quad\text{et }\ \varphi(1)=1 \\
\varphi(2n)&=1/(2n)\ {\rm si}\ n\geq 1\\
\varphi(2n+1)&=n+1\ {\rm si}\ n\geq 1 \\
\varphi(1/q)&=1/(2q-1) \ {\rm si}\ q\geq 2
\end{align*} Cette fonction est bijective de $A$ sur $A$ et pour tout $a\in A$ on a $\varphi(a)\leq a.$
Espace $X.$ On se place dans $\R^2$ euclidien. On pose
$S_0=\{0\}\times [0,1]$ et pour tout $a\in A$ tel que $a>0$, on pose $S_a=\{x+ay=a\mid 0\leq x\leq a\}$
Dans tous les cas, $S_a$ est le segment d'extrémités $(0,1)$ et $(a,0)$. Enfin, $$ X=\bigcup_{a\in A}S_a,$$ $X$ est connexe.
Définition de $f:X\to X.$
$f(0,y)=(0,y)$ Si $x>0,$ il existe un et un seul $a\in A$ tel que $x\in S_a,$ c'est-à-dire tel que $x=a(1-y)$. On pose $f(x,y)=(\varphi(a)(1-y),y)$ et dans tous les cas $f(S_a)\subset S_{\varphi(a)}$ donc $f$ va bien de $X$ dans $X.$
Propriétés de $f$:
$f$ est bijective : On vérifie facilement que pour $(x',y')\in S_b$ on a $f^{-1}(x',y')=(\varphi^{-1}(b)(1-y'),y')$.
$f^{-1}$ n'est pas continue. On utilise le fait que $(1/(2n),0)\rightarrow (0,0)$ et que $f^{-1}(1/(2n),0)=(2n,0)$.
$f$ est continue. Là il y a du boulot ! On montre que l'image de chaque suite convergente de $X$ converge. On prend une suite $(x_n,y_n)$ qui tend vers $(x,y)$ et on traite séparément les cas $x>0$ et $x=0.$
Soit $X$ une somme pointée d'une infinité (dénombrable) de $[0,2\pi[$ et de $\mathbb{S}^1$. Maintenant, on prend $f : X \to X$ qui envoie identiquement les $[0,2\pi[$ sauf un sur tous les $[0,2\pi[$ de l'image, qui envoie identiquement tous les $\mathbb{S}^1$ sur les $\mathbb{S}^1$ de l'image sauf un, et enfin qui envoie le $[0,2\pi[$ restant dans le domaine de définition sur le $\mathbb{S}^1$ restant dans l'image via $t \mapsto e^{it}$.
Ton exemple est indiscutable, mais je me pose une question: cet $X$ est-il plongeable dans un $\R^n$?
Avec le plongement de Math Coss j'ai l'impression que la métrique induite de $\mathbf{R}^2$ ne donne pas la topologie voulue.
Au passage, l'exemple de Serios est vraiment astucieux !
Alors $\varphi$ fournit un contre-exemple à l'énoncé de départ.
Bravo!