Topologie proba distributions
dans Topologie
Salut à tous !
J'ai deux questions.
1) Les topologies faible, étroite et vague sur espace probabilisé sont-elle des cas particulier d'une construction plus générale ?
1.1) Est-ce que ces constructions simplifient la preuve de gros théorème (type Levy).
1.2) Est-ce que les idées de ces constructions se retrouvent dans d'autres parties de maths ?
2) J'étudie les distributions, cette année. Un grand chercheur m'a dit la topologie sur ces espaces est dégueulasse, et ne sert, quasiment pas.
Attention ! Ma question n'est pas de savoir s'il a raison ou tort mais :
- Est-ce qu'il existe un cadre général pour la topologie des distributions, qui s'applique à d'autre branches des maths, en interaction avec d'autres branches de maths et qui soit simple à condition de prendre le temps ?
J'ai deux questions.
1) Les topologies faible, étroite et vague sur espace probabilisé sont-elle des cas particulier d'une construction plus générale ?
1.1) Est-ce que ces constructions simplifient la preuve de gros théorème (type Levy).
1.2) Est-ce que les idées de ces constructions se retrouvent dans d'autres parties de maths ?
2) J'étudie les distributions, cette année. Un grand chercheur m'a dit la topologie sur ces espaces est dégueulasse, et ne sert, quasiment pas.
Attention ! Ma question n'est pas de savoir s'il a raison ou tort mais :
- Est-ce qu'il existe un cadre général pour la topologie des distributions, qui s'applique à d'autre branches des maths, en interaction avec d'autres branches de maths et qui soit simple à condition de prendre le temps ?
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Réponses
Pour ce qui est des convergences vagues, faibles et étroites, il s'agit d'une convergence de mesures et la définition est très semblable : on veut avoir
\[
\lim_{n\to \infty} \int f\mathrm d \mu_n = \int f \mathrm d \mu
\]
pour toute fonction $f$ dans $C^0_c$, $C^0_0$ ou $C^0_b$ selon la convergence. Pour éviter les confusions je parlerai de $C^0_c$, $C^0_0$ ou $C^0_b$-convergence à la place de convergence vague faible et étroite. Commençons par la $C^0_c$-convergence. Sous les hypothèses adéquates le théorème de représentation de Riesz te dit que les mesures sont les formes linéaires positives continues sur $C^0_c$, dans ce cas la $C^0_c$-convergence n'est rien d'autre que la convergence faible-* des topologues. Une seconde version du théorème de Riesz te dit que (sous les hypothèses adéquates) les mesures sont aussi les formes linéaires positives continues sur $C^0_0$, donc encore une convergence faible-*. Petite remarque, ici on a deux espaces différents donnant le même dual, ce n'est pas exceptionnel puisqu'on a déjà ${\ell^1}'=c_0'=\ell^{\infty}$ par exemple. Pour la $C^0_b$-convergence c'est un peu différent puisqu'il existe des formes linéaires continues sur $C^0_b$ qui ne s'identifient pas à des mesures. Mais ça ne change rien au fait que c'est encore une convergence faible-*.
Ce point de vu permet de démontrer qu'une suite de proba admet une sous suite convergente : Par Banach-Alaoglu la boule unité fermée est compacte pour la convergence faible-*, on utilise ensuite un résultat de séparabilité qui nous dit que la topologie sur cette boule unité fermée est métrisable donc compact $\Leftrightarrow$ séquentiellement compact et la suite $\mu_n$ admet une sous suite convergente.
Les convergences de type faible ou faible-* se retrouvent dès qu'il y a de l'analyse en dimension infinie.
Seul bémol dans tout ça : le théorème de Riesz nécessite de travailler sur des espaces localement compacts et une fois le M1 passé je crois que les probabilistes ne se contentent plus des espaces localement compacts. Je ne sais pas si les convergences vagues, faibles et étroites sont étudiées dessus par contre...
La suite au prochain épisode, si je suis motivé.