Exercice sur les espaces normés
Bonsoir, s'il vous plaît j'ai cet exercice.
Soit $g$ un élément de l'espace $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ muni de la norme de la convergence uniforme $||\,.\,||_{\infty}$
pour toute fonction $f$ de $E$ on pose $$N_g(f)=||fg||_{\infty}.
$$ Donner une condition nécessaire et suffisante sur $g$ qui rende $N_g$ une norme sur $E$.
Le problème c'est comment montrer que
$f(x)g(x)=0,\ \forall x\in [0,1]~\Rightarrow~ f(x)=0,\ \forall x\in[0,1]$
Je n'ai pas d'idée.
Merci.
Soit $g$ un élément de l'espace $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ muni de la norme de la convergence uniforme $||\,.\,||_{\infty}$
pour toute fonction $f$ de $E$ on pose $$N_g(f)=||fg||_{\infty}.
$$ Donner une condition nécessaire et suffisante sur $g$ qui rende $N_g$ une norme sur $E$.
Le problème c'est comment montrer que
$f(x)g(x)=0,\ \forall x\in [0,1]~\Rightarrow~ f(x)=0,\ \forall x\in[0,1]$
Je n'ai pas d'idée.
Merci.
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Réponses
Essaie de l'écrire!
et il existe $\varepsilon >0$ tel que $]a-\varepsilon,a+\varepsilon [\subset Z_g$
donc pour tout $x$ dans $]a-\varepsilon,a+\varepsilon [$ $ g(x)=0$
comment trouver une contradiction ?
D'où vient cette idée ? de ab=0 ==> a=0 ou b=0 et du fait qu'une fonction continue f qui n'est pas nulle en $x_0$ reste non nulle sur un voisinage de $x_0$. Et ton implication du premier message peut se justifier par l'absurde.
Cordialement.
Une condition nécessaire est que $g$ soit strictement positive ou strictement négative sur $[0; 1]$. Est ce qu'elle est suffisante ?
Mais j'arrive quand même à tenir des raisonnements logiques.
Qu'est ce que tu veux dire précisément, par rapport au problème posé ici ?
Et c'est toi qui a écrit "Une condition nécessaire est .." alors que ta condition ne l'est pas, mais est par contre suffisante.
Mais alors pourquoi elle n'est pas nécessaire ?
Donc la réponse est que $g$ soit tout simplement non nulle dans l'ensemble des fonctions continues.
Il faut ajouter aux fonctions aux conditions suffisantes que j'ai données, les deux fonctions $g_1 : x\to x$ et $g_2 :x\to 1-x$
Tiens, saurais-tu montrer que toute fonction affine marche ? que tout polynôme marche ?
(Ici, une fonction $g$ « fonctionne » ou « marche » si $N_g$ est une norme.)
Ben je pense que ses zéros sont isolés.
Mais j'aimerais avoir la réponse de ma question précédente posée à @Math Coss qui lui permettrait de dire que sa fonction vérifie les conditions nécessaires.
J'ai trouvé la solution dans un livre il dit que la condition nécessaire et suffisante est $int(Z_g)=\emptyset $
@babsgueye : ben non, la fonction de Math Coss ne s'annule sur aucun intervalle ouvert, mais comme je l'ai dit au-dessus, ça ne veut pas dire que ses zéros sont isolés. Dans tout voisinage de $0$, sa fonction admet un zéro, donc $0$ n'est pas un zéro isolé de sa fonction.
Maintenant on suppose que $f(x)g(x)=0$ pour tout $x \in [0, 1]$ et on fixe $x \in [0, 1]$ tel que $g(x) \neq 0$. Alors $f(x)=0$. Soit maintenant $x \in [0, 1]$ tel que $g(x)=0$. Comme l'ensemble des zéros de $g$ est d'intérieur vide, dans tout voisinage de $x$, on peut trouver un point $y$ tel que $g(y) \neq 0$, et donc tel que $f(y)=0$. Cela permet de construire une suite $(y_n)_n$ de zéros de $f$ qui converge vers $x$. Par continuité de $f$ en $x$, $f(x)=0$, et on a bien montré que $f$ était identiquement nulle.