Exercice sur les espaces normés
Bonsoir, s'il vous plaît j'ai cet exercice.
Soit $g$ un élément de l'espace $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ muni de la norme de la convergence uniforme $||\,.\,||_{\infty}$
pour toute fonction $f$ de $E$ on pose $$N_g(f)=||fg||_{\infty}.
$$ Donner une condition nécessaire et suffisante sur $g$ qui rende $N_g$ une norme sur $E$.
Le problème c'est comment montrer que
$f(x)g(x)=0,\ \forall x\in [0,1]~\Rightarrow~ f(x)=0,\ \forall x\in[0,1]$
Je n'ai pas d'idée.
Merci.
Soit $g$ un élément de l'espace $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ muni de la norme de la convergence uniforme $||\,.\,||_{\infty}$
pour toute fonction $f$ de $E$ on pose $$N_g(f)=||fg||_{\infty}.
$$ Donner une condition nécessaire et suffisante sur $g$ qui rende $N_g$ une norme sur $E$.
Le problème c'est comment montrer que
$f(x)g(x)=0,\ \forall x\in [0,1]~\Rightarrow~ f(x)=0,\ \forall x\in[0,1]$
Je n'ai pas d'idée.
Merci.
Réponses
-
Pour avoir ton implication, il semble nécessaire que $Z(g)$ (l'ensemble des zéros de $g$) soit d'intérieur vide, non?
Essaie de l'écrire! -
Je dois noter $ Z_g=\{x\in [0,1], g(x)=0\}$ et je dois montrer que $int(Z_g)$ est vide. mais d'ou vient cette idée d'où peut venir cette idée s'il vous plait
-
Si je suppose que $int(Z_g)\neq\emptyset$ alors il existe $a$
et il existe $\varepsilon >0$ tel que $]a-\varepsilon,a+\varepsilon [\subset Z_g$
donc pour tout $x$ dans $]a-\varepsilon,a+\varepsilon [$ $ g(x)=0$
comment trouver une contradiction ? -
Bonjour.
D'où vient cette idée ? de ab=0 ==> a=0 ou b=0 et du fait qu'une fonction continue f qui n'est pas nulle en $x_0$ reste non nulle sur un voisinage de $x_0$. Et ton implication du premier message peut se justifier par l'absurde.
Cordialement. -
Salut.
Une condition nécessaire est que $g$ soit strictement positive ou strictement négative sur $[0; 1]$. Est ce qu'elle est suffisante ? -
Notre expert en logique (cf. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1715788,page=1 ) semble confondre condition nécessaire et condition suffisante.
-
Poirot dit " confondre condition nécessaire et condition suffisante"
Et c'est toi qui a écrit "Une condition nécessaire est .." alors que ta condition ne l'est pas, mais est par contre suffisante. -
Elle n'est pas nécessaire car la fonction $g : x \mapsto x$ fonctionne, bien qu'elle ne soit ni strictement positive ni strictement négative sur $[0, 1]$.
-
Ah ok !
Donc la réponse est que $g$ soit tout simplement non nulle dans l'ensemble des fonctions continues. -
Non, encore raté.
-
Et pourquoi ?
-
En fait j'avais pas bien relu la question avant mon dernier poste:
Il faut ajouter aux fonctions aux conditions suffisantes que j'ai données, les deux fonctions $g_1 : x\to x$ et $g_2 :x\to 1-x$ -
C'est évidemment faux. Les fonctions définies par $g(x)=|x-\frac13|$ ou $g(x)=\sin(x)$ ou $g(x)=x(1-x)$ ou $g(x)=x-\frac12$ fonctionnent et pourtant elle ne satisfont pas à ta condition.
Tiens, saurais-tu montrer que toute fonction affine marche ? que tout polynôme marche ?
(Ici, une fonction $g$ « fonctionne » ou « marche » si $N_g$ est une norme.) -
Mieux ! Je dis alors que toute fonction à zéro(s) isolé(s) marche, et ceux sont les seules.
-
Tu veux gagner le concours de celui qui affirme le plus de choses fausses sans démonstration ?
-
@Babsgueye : On progresse mais que penses-tu de $g:x\mapsto x\sin\frac1x$ sur $[0,1]$ ?
-
La réponse est dans le message de Math Coss ci-dessus.
-
Ben tu te trompes encore. Ils le sont presque tous, c'est vrai.
-
Tu dis presque, mais est ce que tu peux m'exhiber un intervalle d’intérieur non vide où elle est nulle ?
-
Tu devrais relire la définition de point isolé.
-
Bonjour, desole pour l'absence.
J'ai trouvé la solution dans un livre il dit que la condition nécessaire et suffisante est $int(Z_g)=\emptyset $ -
C'est bien ce que t'avais dit BobbyJoe non ? ;-)
@babsgueye : ben non, la fonction de Math Coss ne s'annule sur aucun intervalle ouvert, mais comme je l'ai dit au-dessus, ça ne veut pas dire que ses zéros sont isolés. Dans tout voisinage de $0$, sa fonction admet un zéro, donc $0$ n'est pas un zéro isolé de sa fonction.
Maintenant on suppose que $f(x)g(x)=0$ pour tout $x \in [0, 1]$ et on fixe $x \in [0, 1]$ tel que $g(x) \neq 0$. Alors $f(x)=0$. Soit maintenant $x \in [0, 1]$ tel que $g(x)=0$. Comme l'ensemble des zéros de $g$ est d'intérieur vide, dans tout voisinage de $x$, on peut trouver un point $y$ tel que $g(y) \neq 0$, et donc tel que $f(y)=0$. Cela permet de construire une suite $(y_n)_n$ de zéros de $f$ qui converge vers $x$. Par continuité de $f$ en $x$, $f(x)=0$, et on a bien montré que $f$ était identiquement nulle.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 42
+34 Invités