$]0,1[$ pas homéomorphe à $]0,1]$
dans Topologie
Bonjour,
Pour montrer que $]0,1[$ n'est pas homéomorphe à $[0,1]$ j'ai dit que c'est dû au fait que le second est compact mais pas le premier.
En revanche, je n'ai pas d'idée pour montrer que $]0,1[$ n'est pas homéomorphe à $]0,1]$, quelqu'un peut me mettre sur la voie ?
Merci d'avance !
Pour montrer que $]0,1[$ n'est pas homéomorphe à $[0,1]$ j'ai dit que c'est dû au fait que le second est compact mais pas le premier.
En revanche, je n'ai pas d'idée pour montrer que $]0,1[$ n'est pas homéomorphe à $]0,1]$, quelqu'un peut me mettre sur la voie ?
Merci d'avance !
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Réponses
Remarque que $]0,1]\setminus \{1\}$ est un intervalle.
Edit : par contre...il faut se méfier. Car "ouvert" tout seul ne veut rien dire. Il faut préciser "ouvert dans quoi".
La connexité semble bien plus appropriée ici.
Si on enlève le point $1$ à $]0,1]$ on obtient un espace connexe.
Donc les 2 espaces $]0,1[$ et $]0,1]$ ne sont pas homéomorphes.
Merci à tous d'avoir pris le temps de me répondre ! Bonne soirée
Cela parle de connexité, à nouveau.
Sans le savoir j'avais fait les mêmes remarques sur les "pièges" de travailler avec les ouverts.
Mais il est demandé de ne pas utiliser la connexité. D'où la variante de l'énoncé initial : comment montrer qu'un cercle n'est pas homéomorphe à un intervalle compact sans utiliser la connexité ?
Par l'absurde, notons $f$ une telle application, et posons $a \in \mathbb S^1$ tel que $f(a)=0$ et $b \in \mathbb S^1$ tel que $f(b)=1$. Comme $f$ est injective on a $a \neq b$, et je peux écrire un paramétrage continu d'un des deux arcs reliant $a$ à $b$, disons $\gamma$. Mais alors $f \circ \gamma$ est une application continue de $[0, 1]$ dans lui-même, vérifiant $f\circ \gamma(0)=0$ et $f \circ \gamma(1)=1$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires (la connexité est cachée là), pour tout $x \in ]0, 1[$, il existe un antécédent de $x$ par $f \circ \gamma$ dans $]0, 1[$, mais c'est donc que $x$ a un antécédent par $f$ dans l'arc que j'ai choisi entre $a$ et $b$, absurde car $f$ est injective et $f$ doit bien prendre certaines valeurs de $[0, 1]$ dans l'autre arc ! (en fait toutes pour les mêmes raisons)