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$]0,1[$ pas homéomorphe à $]0,1]$

anthomedalanthomedal
dans Topologie
Bonjour,

Pour montrer que $]0,1[$ n'est pas homéomorphe à $[0,1]$ j'ai dit que c'est dû au fait que le second est compact mais pas le premier.

En revanche, je n'ai pas d'idée pour montrer que $]0,1[$ n'est pas homéomorphe à $]0,1]$, quelqu'un peut me mettre sur la voie ?

Merci d'avance !

Réponses

  • MagnoliaMagnolia
    Bonjour


    Remarque que $]0,1]\setminus \{1\}$ est un intervalle.
  • MagnoliaMagnolia
    Mauvaise lecture de la demande. Ma réponse s'applique à ]0,1] et ]0,1[, comme indiqué dans le titre! Si c'est [0,1] et l'un des autres, le mieux est d'utiliser la compacité!
  • anthomedalanthomedal
    Ma question porte bel et bien sur $]0,1[$ et $]0,1]$
  • DomDom
    Par définition de la continuité (l'image réciproque d'un ouvert de $R$ est un ouvert de $R$), essayons.

    Edit : par contre...il faut se méfier. Car "ouvert" tout seul ne veut rien dire. Il faut préciser "ouvert dans quoi".
    La connexité semble bien plus appropriée ici.
  • PoirotPoirot
    Magnolia t'a donné une indication. Tu peux retirer un point à $]0, 1]$ tout en conservant la connexité.
  • anthomedalanthomedal
    Nous n'avons pas vu la connexité en cours, je dois le faire sans cette notion s'il vous plait
  • MagnoliaMagnolia
    Tu peux supposer qu'il existe un homéomorphisme $f:]0,1[\to ]0,1]$. Alors il existe $c\in]0,1[$ tel que $f(c)=1$. Probablement tu sais qu'une fonction continue injective sur un intervalle est monotone sur cet intervalle. En mettant tout ça ensemble on arrive à une impossibilité.
  • ArchimèdeArchimède
    Si on enlève un point à $]0,1[$ on obtient un espace non connexe.
    Si on enlève le point $1$ à $]0,1]$ on obtient un espace connexe.
    Donc les 2 espaces $]0,1[$ et $]0,1]$ ne sont pas homéomorphes.
  • PoirotPoirot
    @Archimède : comme souvent, tu ne lis pas les réponses données dans le fil (j'imagine que tu ne liras pas celle-ci non plus). anthomedal a dit qu'il ne connaissait pas la notion de connexité.
  • anthomedalanthomedal
    Merci beaucoup Magnolia ton indication m'a permis de trouver !

    Merci à tous d'avoir pris le temps de me répondre ! Bonne soirée
  • DomDom
    Un petit document d'une qualité excellente : https://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/analyse/fonctions/intervalles.pdf

    Cela parle de connexité, à nouveau.
    Sans le savoir j'avais fait les mêmes remarques sur les "pièges" de travailler avec les ouverts.
  • MaxtimaxMaxtimax
    On peut aussi remarquer que la compactification d'Alexandrov de l'un est un cercle et de l'autre un intervalle compact
  • ptiteuclideptiteuclide
    Oui, mais pour montrer qu'un cercle (non réduit à un point) n'est pas homéomorphe à un intervalle compact (non réduit à un point), j'enlève un point intérieur à l'intervalle et remarque que j'obtiens un ensemble non connexe, alors que, si j'enlève un point à un cercle, l'ensemble obtenu reste connexe.
    Mais il est demandé de ne pas utiliser la connexité. D'où la variante de l'énoncé initial : comment montrer qu'un cercle n'est pas homéomorphe à un intervalle compact sans utiliser la connexité ?
  • PoirotPoirot
    On se ramène à montrer que $[0, 1]$ n'est pas homéomorphe au cercle unité. En fait il n'y a même pas d'application injective continue de $\mathbb S^1$ dans $[0, 1]$ atteignant les valeurs $0$ et $1$.

    Par l'absurde, notons $f$ une telle application, et posons $a \in \mathbb S^1$ tel que $f(a)=0$ et $b \in \mathbb S^1$ tel que $f(b)=1$. Comme $f$ est injective on a $a \neq b$, et je peux écrire un paramétrage continu d'un des deux arcs reliant $a$ à $b$, disons $\gamma$. Mais alors $f \circ \gamma$ est une application continue de $[0, 1]$ dans lui-même, vérifiant $f\circ \gamma(0)=0$ et $f \circ \gamma(1)=1$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires (la connexité est cachée là), pour tout $x \in ]0, 1[$, il existe un antécédent de $x$ par $f \circ \gamma$ dans $]0, 1[$, mais c'est donc que $x$ a un antécédent par $f$ dans l'arc que j'ai choisi entre $a$ et $b$, absurde car $f$ est injective et $f$ doit bien prendre certaines valeurs de $[0, 1]$ dans l'autre arc ! (en fait toutes pour les mêmes raisons)
  • bimbobimbo
    Voici autre façon que j'aime bien de distinguer le cercle et le segment : un segment a la propriété du point fixe : tout application continue d'un segment dans lui même a un point fixe (théorème des valeurs intermédiaires encore) alors que le cercle non (l’application antipode n'a pas de point fixe).
  • PoirotPoirot
    Simple et efficace (tu)
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