Connexe par arc et connexe

topo29 · October 2018

Bonjour,
j'ai cet ensemble $$Z=\{f\in \mathcal{C}([-1,1],\mathbb{R})\mid f(0)=0\}$$ l'espace des fonctions continues est muni de la norme $||.||_{\infty}$.
Comment savoir si $Z$ est connexe ou connexe par arc ?
Merci.

melpomène · October 2018

C'est un gentil espace vectoriel. Donc ?

topo29 · October 2018

il est convexe?

j'ai essayé de définir la fonction $h:[0,1]\to Z$ par $h(t)=t f+ (1-t) g$ mais je ne sais pas comment montrer que $ h(t)$ est dans Z.

melpomène · October 2018

Je vais le dire plus fort: C'EST UN ESPACE VECTORIEL !!!

A moins que tu ne saches pas montrer $Z$ est un espace vectoriel ?

Question subsidiaire: quel rapport entre convexe, connexe par arcs et connexe ?

topo29 · October 2018

Si Z est un sous espace vectoriel fermé de C([-1,1]) mais je ne vois pas la relation avec la connexité

Math Coss · October 2018

Quand tu dessine un vecteur sur une feuille de papier, tu dessines (probablement) un chemin entre le vecteur nul et l'extrémité où tu mets la flèche qui désigne le « vrai » vecteur.

Pour tout $v$ de $E$, l'application $[0,1]\to E$, $t\mapsto tv$ est un chemin continu qui relie $0$ à $v$.

Connexe par arc et connexe

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Bonjour!

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