Distance et Boule

Bonjour,

Je ne comprends pas cette implication $d_1(x,y) \leq d(x,y) < r \Longrightarrow B_d(x,r) \subset B_{d_1}(x,r)$

''Je ne comprends pas pourquoi la petite distance a une boule plus grosse que de la grande distance''

Je ne comprends pas pourquoi si $O$ est un ouvert pour $d_1$ et aussi ouvert pour $d$ "si l'implication est vrai"