Topologie de la convergence faible

Saturne · October 2018

Bonjour,

J'aurais peut-être pu répondre moi-même à ces questions quand j'étais plus jeune, mais je suis fort rouillé.

Soit $X$ un espace polonais, et $\mathcal{P}(X)$ l'ensemble des probabilités sur $X$.

Soit la topologie sur $X$ engendrée par les ouverts de la forme $O_{f,a} = \bigl\{\mu \in \mathcal{P}(X) \mid \mu(f) < a\bigr\}$ pour $f \colon X \to \R$ continue bornée et $a \in \R$.

1) Pourquoi la convergence pour cette topologie coïncide avec la convergence faible ?

2) Pour cette topologie, on considère la tribu borélienne. Soit $Z$ un espace mesurable et $z \mapsto \mu_z$ une application de $Z$ dans $\mathcal{P}(X)$. Pourquoi y a-t-il équivalence entre la mesurabilité de cette application et la mesurabilité de $z \mapsto \mu_z(f)$ pour toute $f$ continue bornée ?

Maxtimax · October 2018

Je vais répondre à tes deux questions en un coup : $\mathcal{P}(X) \subset \mathcal{L}(C_b(X,\R),\R)\subset \R^{C_b(X,\R)}$ où $C_b(X,\R)$ est l'ensemble des fonctions continues bornées $X\to \R$ (c'est plus ou moins clair selon comment tu définis une probabilité sur $X$; vu ta notation "à-la-Bourbaki", ça doit être relativement évident, voire une définition)

En fait en regardant $-f$ tu as que tes ouverts engendrent la même topologie que les $\{\mu\in \mathcal{P}(X) \mid \mu(f) \in ]a,b[\}$, $a,b\in \R\cup\{\infty, -\infty\}$, et donc que les $\{\mu \in \mathcal{P}(X) \mid \mu(f) \in O\}$, pour $O$ ouvert de $\R$.
J'imagine que tu vois déjà où je veux en venir, mais pour que ce soit explicite, je l'écris : la topologie que tu décris est la topologie induite de la topologie produit sur $\R^{C_b(X,\R)}$.

Il en découle que la topologie est celle de la convergence faible (par définition de topologie de la convergence faible), et la propriété universelle de la topologie produit répond à la question 2.

Topologie de la convergence faible

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