Fermé de $[0,1]$ et points fixes
Réponses
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Point clé : le complémentaire de $F$ est, comme tout ouvert de $\R$, une réunion dénombrable d'intervalles disjoints $\left]a_k,b_k\right[$ (si l'un des $a_k$ vaut $0$, l'intervalle est alors $\left[a_k,b_k\right[$ ; idem si $b_k=1$, auquel cas on prend $\left]a_k,b_k\right]$). On définit $\phi$ par :
- $\phi(x)=x$ si $x\in F$ ;
- $\phi(x)=x^2+(1-a_k-b_k)x+a_kb_k$ si $x\in\left]a_k,b_k\right[$.
Edit : La phrase initiale était correcte mais les pronoms renvoyaient au sujet de la principale et pas à la phrase précédente. Je l'ai reformulée.
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