Espace topologique et tribu borélienne

Tout simplement parce que les fermés sont les complémentaires des ouverts, et comme une tribu est stable par passage au complémentaire, si elle peut être engendrée par une famille $\mathcal F$ de parties (de $X$), alors elle est également engendrée par $\{X \setminus A \mid A \in \mathcal F\}$.

Bah les deux !

Pour la définition d'un espace topologique, c'est fait dans n'importe quel cours de topologie.

Si vraiment tu la veux sans plus de détails : soit $E$ un ensemble et $\mathcal O$ une famille de parties de $E$. On dit que $(E, \mathcal O)$ est un espace topologique lorsque :

i) $E \in \mathcal O$ et $\emptyset \in \mathcal O$.
ii) Si $(O_i)_{i \in I}$ est une famille d'éléments de $\mathcal O$ alors $\bigcup_{i \in I} O_i \in \mathcal O$.
iii) Si $\{O_1, \dots, O_n\}$ est une famille finie d'éléments de $\mathcal O$, alors $\bigcap_{i=1}^n O_i \in \mathcal O$.

Mmmmh, attention, attention : la tribu borélienne est bien engendrée par les fermés, mais pourquoi est-ce que la tribu engendrée par les pavés fermés serait égale à la tribu engendrée par les fermés ?