Somme directe

topo29 · October 2018

Je bloque sur cette question.

Soit $\varphi: E\to \mathbb{R}$ une forme linéaire $\varphi\neq 0$.
Montrer qu'il existe $a\in E$ tel que : $\quad E=\ker\varphi\oplus \mathbb{R} a.$

Merci.

Math Coss · October 2018

Tu peux choisir $a$ de façon arbitraire pour autant que $\varphi(a)\ne0$.

topo29 · October 2018

Mais comment montrer la somme directe s'il vous plaît ?

Math Coss · October 2018

Prends un vecteur $v$ de $E$ quelconque ; tu cherches à l'exprimer comme somme d'un élément de la droite engendrée par $a$ et d'un vecteur $v_0$ du noyau : écris ce que ça signifie (c'est une équation à deux inconnues, $v_0$ et ?) ; écris la condition qui exprime que $v_0$ est dans le noyau ; note que ça te donne la valeur de ? et par conséquent celle de $v_0$. Ceci prouve l'unicité. Pour l'existence, tu vérifies que la solution que tu as trouvée convient. Ça montre que les deux espaces $\R a$ et $\ker\varphi$ sont supplémentaires.

topo29 · October 2018

Je dois montrer que $v= v_0+ a x$, avec $\varphi(v_0)=0$ et $x\in\mathbb{R}$ ?

Math Coss · October 2018

Oui – il vaut mieux écrire $xa$ plutôt que $ax$.
La condition $\varphi(v_0)=0$ te donne la valeur de $x$ (en fonction de $v$) puis celle de $v_0$.

topo29 · October 2018

Mais ils nous disent : montrer qu'il existe a, si j'écris directement $v=v_0+ xa$ il y a un problème.

gerard0 · October 2018

Prends n'importe quel a d'image non nulle, tu verras, ça marche.
En fait, il suffit de traduire l'hypothèse $\varphi\neq 0$

Cordialement.

Math Coss · October 2018

Je te conseille très fortement de faire un dessin en prenant $E=\R^2$ et $\varphi((x_1,x_2))=x_2$ : où est $\ker(\varphi)$ ? pour quels vecteurs $a$ est-ce que $\R a$ est un supplémentaire de $\ker\varphi$ ?

Voici une solution presque rédigée qui reprend ce que j'ai déjà écrit, avec quelques trous à compléter.

Soit $a$ un vecteur tel que $\varphi(a)\ne0$ (son existence est garantie parce que...).
Montrons que $E=\ker\varphi\oplus\R a$. Pour cela, fixons un vecteur $v$ de $E$ et montrons que s'écrit de façon unique comme somme d'un vecteur de $\ker\varphi$ et d'un multiple de $a$.
Unicité. Supposons qu'il existe $v_0\in\ker\varphi$ et $x\in\R$ tels que $v=v_0+xa$. Alors, comme $\varphi(v_0)=0$, on a... et donc $x=\cdots$, puis $v_0=\cdots$. On en déduit que si un couple $(v_0,x)$ existe, il est unique.
Existence. Posons $x=\cdots$ et $v_0=\cdots$ [il suffit de mettre les valeurs qu'on vient de trouver !]. Alors $\varphi(v_0)=\cdots=0$ donc $v_0\in\ker\varphi$. Cela prouve qu'il existe au moins une décomposition.
Ainsi, tout vecteur de $E$ s'écrit de façon unique comme somme d'un vecteur de $\ker\varphi$ et d'un multiple de $a$, ce qui entraîne que $E=\ker\varphi\oplus\R a$.

topo29 · October 2018

Je commence par: soit $v\in E$, comme $\varphi\neq 0$ alors $Im(\varphi)\neq \emptyset$ donc il existe $a\in Im(\varphi)\subset E$ , Soit $v_0\in Ker(\varphi)$ alors $\varphi(v_0)=0$

Après je ne suis pas sûre de quoi écrire : considérant $v= v_0+ xa$ comme $\varphi(v)=\varphi(v_0)+\varphi(xa)=\varphi(xa)=
x\varphi(a)$

donc $x=\frac{\varphi(v)}{\varphi(a)}$ pour tout $x\in \mathbb{R}$

je ne sais pas comment terminer.

J'ai écrit le message avant de voir la réponse de math coss

Math Coss · October 2018

Ça part mal ! L'image de $\varphi$ est incluse dans $\R$ et pas dans $E$.

Je ne comprends pas : on te donne $a$, $\varphi$ et $v$ ; tu cherches $x$ ; tu sais que $\varphi(v)=x\varphi(a)$. Pourquoi diable vas-tu exprimer $\varphi(a)$ comme ça, en plus en divisant peut-être par zéro si jamais $x$ est nul ?!

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