Partie dense

naforito · October 2018

Bonjour,
Je voudrais savoir l'utilité d'une partie dense dans une autre partie, sachant que je sais sa définition mais je n'arrive pas à lier la définition avec mes exercices.

Par exemple dans un exercice le prof nous a demandé de montrer que $C_0$ l'ensemble des suites à valeur complexe dont ses termes sont nuls sauf dans [pour] un nombre fini muni de $d(u,v)=\sum_{n \in \mathbb{N}} |u_n,v_n|$ n'est pas complet, avec $u= \{ u_n ,\ n \in \mathbb{N} \}$ et $C_0 \subset l^1$ l'ensemble des suites $u= \{ u_n ,\ n \in \mathbb{N} \}$ à valeur complexe telle que $\sum_{n \in \mathbb{N}} |u_n|<+ \infty$

Le prof a utilisé la notion de la densité, mais je sais pas pourquoi
Pouvez-vous m'expliquer cette notion.
Merci.

Poirot · October 2018

Vraisemblablement ton prof a montré que $c_0$ est dense dans $l^1$, ce qui prouve que $c_0$ ne peut être une partie fermée : une partie $A$ d'un espace topologique $E$ est dense dans $E$ si $\overline{A}=E$, et elle est fermée si et seulement si $\overline{A}=A$. Une partie dense n'est donc fermée que si et seulement si elle est égale à l'espace tout entier.

naforito · October 2018

Alors $c_0$ est dense dans $l^1$ implique que $c_0$ est n'est pas fermé , donc il existe des éléments dans $l^1$ qui ne sont pas dans $c_0$

Par cette astuce on peut démontrer que $c_0$ n'est pas complet

C'est ça ?!

Poirot · October 2018

Je ne comprends pas bien ton "donc il existe des éléments de $l^1$ qui ne sont pas dans $c_0$", ça tu le sais déjà, c'est évident.

Par contre en effet, pour montrer que $c_0$ n'est pas complet il suffit de montrer qu'il n'est pas fermé dans $l^1$.

naforito · October 2018

Je veux dire par "donc il existe des éléments de $l^1$ qui ne sont pas dans c_0"

Que la suite de Cauchy de $c_0$ converge vers une suite qui appartient à $l^1$ et n'appartient pas à $c_0$

Poirot · October 2018

Ouh lala, il faudrait quantifier mieux que ça. "La suite de Cauchy" ? Tout ce que tu peux dire c'est qu'il existe une suite de Cauchy d'éléments de $c_0$, qui converge vers un élément de $l^1$ qui n'est pas dans $c_0$.

naforito · October 2018

je n'ai pas bien compris ta remarque !

Poirot · October 2018

Ta phrase n'a pas de sens. Tu dis "la suite de Cauchy de $c_0$" comme s'il n'y en avait qu'une.

$c_0$ n'est pas fermé dans $l^1$, donc on peut trouver une suite d'éléments de $c_0$, convergeant vers un élément de $l^1$ qui n'est pas dans $c_0$. En particulier cette suite est de Cauchy dans $c_0$, mais ne converge pas dans $c_0$, donc $(c_0, ||.||_1)$ n'est pas complet.

Au passage comme $l^1$ est, lui, complet, la réciproque est vraie : si $A$ est une partie fermée de $l^1$, alors elle est complète pour la restriction de $||.||_1$ à $A$.

naforito · October 2018

L'ensemble de $c_0$ est l'ensemble des suites telles que à partir d'un certain rang $N$ on a $\sum \limits_{n=0}^{N-1} |u_n| < + \infty$ "les autres sont nulles"ceci montre que $(u_n)_n$ est convergente donc elle est de Cauchy , c'est faux ?

Poirot · October 2018

Tu écris n'importe quoi !!!

Pour n'importe quelle suite de nombres complexes et n'importe quel entier $N$ on a $\sum \limits_{n=0}^{N-1} |u_n| < + \infty$...

$c_0$ est l'ensemble $$\{(u_n)_n \in \mathbb C^{\mathbb N} \mid \exists n_0 \in \mathbb N, \forall n \geq n_0, u_n=0\}.$$ Il est évident que $c_0 \subset l^1$.

Si on prend une suite de Cauchy $(a_n)_n$ dans $c_0$ (c'est donc une suite de suite : pour tout entier $n$, $a_n$ est une suite de nombres complexes), relativement à la distance induite par le norme $||.||_1$ de $l^1$, alors elle converge vers un élément de $l^1$ (car $l^1$ muni de cette distance est complet), par contre il se peut que cette limite ne soit pas un élément de $c_0$, car $c_0$ n'est pas fermé dans $l^1$.