Partie d'un espace complet
Bonjour
Les hypothèses sont :
Une application $f : (X,d) \rightarrow (Y,d')$ avec $(X,d)$ un espace métrique complet et $(Y,d')$ un espace métrique complet
avec $\forall (x,x') \in X^2$, on pose : $d(x,x)=d'(f(x),f(x'))$
Le but est de montrer que f(X) est un fermé
La partie que j'ai pas comprise dans la correction est : Soit $(y_n) = (f(x_n))$ une suite d'élément de $f(X)$ telle que $y_n \rightarrow y\in Y$
Ma question est : pourquoi il a conclu que $y_n$ converge vers $y$ ?
Merci de votre soutien !
[Message initial : Bonjour,
Soit (X,d) un espace métrique complet et A une partie non vide de X.
Je voudrais savoir qu'est ce qu'on peut conclure d'une suite (xn)n d'élément de A
"Est ce ue $$(x_n)_$ $st :une suite de Cauchyconverge nte ? ou $(x_n)_n$ est seulement une suite conersgente"
Merci de votre soutien !]
Les hypothèses sont :
Une application $f : (X,d) \rightarrow (Y,d')$ avec $(X,d)$ un espace métrique complet et $(Y,d')$ un espace métrique complet
avec $\forall (x,x') \in X^2$, on pose : $d(x,x)=d'(f(x),f(x'))$
Le but est de montrer que f(X) est un fermé
La partie que j'ai pas comprise dans la correction est : Soit $(y_n) = (f(x_n))$ une suite d'élément de $f(X)$ telle que $y_n \rightarrow y\in Y$
Ma question est : pourquoi il a conclu que $y_n$ converge vers $y$ ?
Merci de votre soutien !
[Message initial : Bonjour,
Soit (X,d) un espace métrique complet et A une partie non vide de X.
Je voudrais savoir qu'est ce qu'on peut conclure d'une suite (xn)n d'élément de A
"Est ce ue $$(x_n)_$ $st :une suite de Cauchyconverge nte ? ou $(x_n)_n$ est seulement une suite conersgente"
Merci de votre soutien !]
Réponses
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Je ne comprends pas bien ta question, quelles sont les hypothèses sur la suite $(u_n)_n$ ? Elle est à valeurs dans $A$ c'est tout ? Dans ce cas aucune raison qu'elle soit de Cauchy (a fortiori convergente).
Si elle est supposée de Cauchy alors elle converge dans $X$ puisque celui-ci est complet. Par contre si $A$ n'est pas fermé il n'y a aucune raison qu'elle converge dans $A$. -
j'ai écrit les hypothèses
-
L'énoncé est totallement faux!
Suffit de prendre R au départ et à l'arrivée et l'artangente par exemple
:-S -
Tu sous-entends que $d$ est une métrique?!! définie de la manière suivante alors que $f$ semble être quelconque? ^^
L'énoncé est tellement mal quantifié... Tu veux juste dire que $f$ est une isométrie...
Tu prends une suite $(y_{n})$ de $f(X)$ qui converge (pour $d'$) vers $y.$
Pour tout $n\geq 0,$ on a alors qu'il existe $x_{n}\in X$ tel que $f(x_{n})=y_{n}.$
Ainsi, $(x_{n})$ est de Cauchy car $f$ est une isométrie et converge donc (pour $d$) vers un élément $x$ de $X$ ($X$ étant complet).
Par continuité de $f$, il vient que $y=f(x).$ C'est exactement dire que $y\in f(X).$
Et ainsi, $f(X)$ est fermé! -
Est ce que la suite $y_n$ converge vers $y$ car Y est complet ? .
-
Non, la suite converge vers $y$ parce que c'est l'hypothèse.
Rappelle-toi ce qu'il faut montrer pour montrer qu'une partie $B$ est fermée : il faut montrer que si un point $y$ est la limite d'une suite d'élément de $B$, alors $y$ est dans $B$. On part donc d'une suite convergente – par hypothèse – et on montre que la limite est dans la partie en question. -
Que c'est malsain de changer l'énoncé du message initial sans laisser de trace de ce qu'il y avait au début. Si je n'avais pas lu le premier jet, je n'aurais pas compris le message de Poirot. Il n'y a même plus de A dans le message !!
-
Meeerci beaucoup Math Coss
Et pour la remarque de gerard0, j'ai changé car les nouveaux visiteurs vont commenter comme Poirot, et ils ne vont pas voir mes modifications au-dessous. -
Rien ne t'empêchait de barrer le message initial (il y a le bouton abc pour ça) et de donner un meilleur énoncé.
-
D'accord monsieur gerard0 je prendrai ta remarque en considération la prochaine fois
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Bonjour!
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