Distances et continuité de l'identité

Bonjour

Soit $(E,d)$ un espace métrique, $U \subset E$ un ouvert distinct de $E$ et $F=E\setminus U$. Pour tous $x,y \in U$, on pose $d_U(x,y)=d(x,y)+\vert \frac{1}{d(x,F)} - \frac{1}{d(y,F)} \vert $.
J'ai montré que $d_U$ était une distance et je cherche maintenant à montrer que la distance $d_U$ est topologiquement équivalente à la distance $d$.

En parcourant la correction je tombe sur cette implication que je ne comprends pas.
"$d(x,y) \leq d_U(x,y)$ donc l'application identique de $(U,d_U)$ dans $(U,d)$ est continue."
Je ne comprends pas ce qui nous permet de dire que cette application est continue. Pourriez-vous m'expliquer ?
Merci d'avance.