Topologie produit
Bonsoir,
En travaillant sur la notion de topologie produit, il y a d'abord un mini-point qui me bloque, à savoir montrer que l'ensemble des rectangles élémentaires forme une base de topologie. Plus précisément, avec les notations de l'image ci-dessous, je n'arrive pas à montrer que si $R_1$ et $R_2$ sont deux rectangles élémentaires de $E$, alors $R_1\cap R_2$ est une réunion de rectangles élémentaires. Apparemment, c'est même directement un rectangle élémentaire.
Pouvez-vous m'aider ?
En travaillant sur la notion de topologie produit, il y a d'abord un mini-point qui me bloque, à savoir montrer que l'ensemble des rectangles élémentaires forme une base de topologie. Plus précisément, avec les notations de l'image ci-dessous, je n'arrive pas à montrer que si $R_1$ et $R_2$ sont deux rectangles élémentaires de $E$, alors $R_1\cap R_2$ est une réunion de rectangles élémentaires. Apparemment, c'est même directement un rectangle élémentaire.
Pouvez-vous m'aider ?
Réponses
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Utilisons la caractérisation de la définition (pas celle de la remarque). Regarde ce qui se passe quand tu prends l'intersection de deux rectangles \[R=\bigcap_{i\in I}p_i^{-1}(O_i)\quad \text{et}\quad R'=\bigcap_{i'\in I'}p_{i'}^{-1}(O_{i'})\ ] pour les $i$ qui ne sont que dans un des ensembles d'indices, il n'y a pas d'interférence ; pour les $i$ où les deux apparaissent, tu vois $p_i^{-1}(O_i)\cap p_i^{-1}(O'_i)=p_i^{-1}(O_i\cap O'_i)$ qui est bien de la forme requise.
Autrement écrit, si on note $A=I\setminus I'$, $B=I\cap I'$ et $C=I'\setminus I$ (trois parties disjointes), on a : \[ R\cap R'=
\bigcap_{a\in A}p_a^{-1}(O_a)\cap\bigcap_{b\in B}p_b^{-1}(O_b\cap O'_b)\cap\bigcap_{c\in C}p_c^{-1}(O'_c).\]
Edit: Rectification du $\bigcup$ en $\bigcap$. -
Bien vu, merci. Juste une petite coquille au début tu as mis des réunions au lieu des intersections dans les définitions de $R$ et $R'$.
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