Partie compacte non fermée

@babsgueye : tu revois la définition de "compact", et tu vérifies que tout singleton (avec l'unique topologie qu'on peut mettre dessus) satisfait cette définition.

Quel problème ? Montrer que la topologie du singleton est séparée ? :-D

Ok je me suis couché un peu trop tard, mais mon problème avec la non séparation persiste (du fait que le critère de séparation est dans la définition de la compacité). Je doute qu'on puisse trouver un exemple sans la topologie grossière et les singletons ?

Merci.

On peut trouver plein d'exemples sans la topologie grossière et singletons. Soit $X$ un espace compact, $T$ sa topologie, et soit $\omega\notin X$. On pose alors $Y = \{\omega\}\cup X$ muni de la topologie $T\cup \{Y\}$. Il s'agit bien d'une topologie (stable par intersections finies et unions quelconques: c'est clair), dans laquelle $X$ n'est pas fermée (car $\{\omega\}$ n'est pas ouvert), et pourtant la topologie induite sur $X$ est clairement $T$, de sorte que $X$ est compact mais pas fermé. En particulier en choisissant $X$ non grossier, bah ça donne un exemple non grossier.

Je te laisse généraliser cet exemple pour voir que tu peux rajouter plus qu'un simple point $\omega$, voire que $Y\setminus X$ peut avoir une topologie non grossière, etc.

L'hypothèse dit que

Quelle hypothèse ? Pourrais-tu au moins une fois formuler clairement ton problème ?

Ce n'est absolument pas un abus ! C'est une conséquence immédiate de la définition de "séparé". Ce qui se passe, c'est que tu as quelques difficultés de logique pour interpréter $\forall x\ A(x)\implies B(x)$.

Dommage de répondre "peut-être" car il me semble que c'est important.

J'ose faire un lien avec des incompréhensions dans les échanges des fils que tu inities dans le forum $Shtam$.

Attention, des choses m'échappent parfois, je ne suis pas un expert non plus. Mais il me semble que quand on a un doute, c'est le début de la compréhension : il faut lever se doute, coûte que coûte.

Il me semble qu'au départ il ne sait pas ce qui ta chagrine.
Ensuite, il pense avoir trouvé en te déclarant que ton problème est un point de logique.

Cependant, pas de problème. Chacun fait comme il l'entend.

Edit : Bien entendu, @GaBuZoMeu pourra nier ou valider ce que je dis avant de m'engueuler pour avoir répondu à sa place.(:P)

Et de ($non\;A(x)$) on déduit quoi ? ça permet de dire quoi ?

Je ne suis pas doué en logique , surtout quand on parle des connecteurs et leur utilisation, mais je sais que ($A\Rightarrow B\ \iff\ non\;B\Rightarrow non\;B$).
Je ne sais pas si tu parles de ça @Poirot, mais ici on n'est pas je pense dans cette situation.

Ah ok ! ce point de logique, je l'ai une ou deux fois vu avec @cc dans les fils de logique, mais j'ai surement à priori négligé son utilité en mathématiques fondamentales pour bien le retenir. Là je rencontre un exemple d'utilisation. Merci.

Une question alors.

Si $x\neq \emptyset$ existe-t-il une formule $P$ différente de $\{(x = x);\;(x\leq x);\;(x\geq x)\}$ et telle que: $P(x)$ est vraie ?

@babsgueye : ce que tu demandes n'a rien à voir avec le fait que $x$ soit vide ou non. En l'occurrence $\emptyset = \emptyset$ est une formule parfaitement vraie. Pire tu te mets à utiliser les symboles $\leq$ et $\geq$, ce qui ne veut pas dire grand-chose à ce niveau de généralité. Et puis si $x$ est n'importe quel ensemble et $P$ une formule à un paramètre libre quelconque, alors $(x=x) \vee P(x)$ est vraie et n'est pas la formule $x=x$ par exemple.