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Espace localement compact

Envoyé par Démarrelesprobas 
Espace localement compact
il y a deux années
Bonjour,

On dit qu'un espace topologique est localement compact s'il est séparé et chacun de ses points possède un système fondamental de voisinages compacts.

Soit $(E,\mathcal O)$ un espace topologique séparé. Je n'arrive pas à montrer l'équivalence entre :
1) $E$ est localement compact.
2) Tout point de $E$ possède un voisinage compact.

Pour 1) $\implies$ 2) c'est évident mais je bloque pour l'autre.

Soit $x\in E$ et $V$ un voisinage compact de $x$. Comment construire un système fondamental de voisinages compacts de $x$ ?
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Soit $U\subset V$ un voisinage ouvert de $x$. Peux tu construire deux ouverts disjoints $W$ et $Z$, $W$ contenant $x$ et $Z$ contenant $V\setminus U$ ? Vois-tu alors un voisinage compact de $x$ contenu dans $U$ ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par GaBuZoMeu.
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Je ne vois pas quoi prendre pour $W$ et $Z$.
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Deuxième coup de pouce : $V\setminus U$ est compact, et on peut commencer par regarder ce qui se passe pour chaque point de $V\setminus U$.
Re: Espace localement compact
il y a deux années
D'accord pour $V\setminus U$ compact, car fermé (car de complémentaire ouvert) dans $V$ qui est compact.
Par hypothèse, pour tout $a\in V\setminus U$, il existe $O_a$ un voisinage compact de $a$. Mais ensuite...
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Troisième coup de pouce : la séparation !
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Pour tout $a\in V\setminus U, a\neq x$ donc il existe $(X_a,Y_a)\in\mathcal O^2$ tel que $x\in X_a,a\in Y_a$ et $X_a\cap Y_a=\emptyset$. Or $(Y_a)_{a\in V\setminus U}$ est un recouvrement ouvert de $V\setminus U$ qui est compact donc il existe $n\in\mathbf N^{*}$ et $(a_i)_{1\leq i\leq n}\in (V\setminus U)^n$ tels que $V\setminus U\subset \cup_{i=1}^n Y_{a_i}$. Ainsi, $Z:=\cup_{i=1}^n Y_{a_i}$ est un ouvert contenant $V\setminus U$ et $W:=\cap_{i=1}^n X_{a_i}$ est un ouvert (par intersection finie) contenant $x$ et $W\cap Z=\emptyset$.

Par contre, j'avoue maintenant être perdu pour trouver un voisinage compact de $x$ contenu dans $U$. J'ai pensé à $\overline W$ mais je n'arrive pas à montrer que $\overline W\subset U$.
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Quatrième coup de pouce : on cherche un voisinage compact de $x$ contenu dans $U$ ; son complémentaire dans $V$ est ...
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Ouvert ?
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Mézencor ?
Écoute, quatre coups de pouce, ça suffit. Cinq, ça serait faire complètement l'exercice à ta place.
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Oui et puis ça va commencer à te faire des bleus avec tous ces coups de pouce !
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Du coup, si quelqu'un peut m'indiquer comment conclure svp.
Re: Espace localement compact
il y a deux années
As-tu fait un dessin ?
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Non, mais en essayant à part voir que c'est ouvert je ne vois pas.

Pour conclure la démonstration, quel voisinage compact de $x$ contenant $U$ faut-il prendre ?
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Bon, je finis à ta place.sad smiley

On cherche un voisinage compact de $x$ contenu dans $U$ ; parlant de son complémentaire dans $V$, on cherche un ouvert de $V$, disjoint d'un voisinage ouvert de $x$ et contenant $V\setminus U$.
Surprise, on l'a déjà !
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Ok merci, je n'y étais pas.
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Sauf erreur, une variante plus simple que j'ai vue ailleurs et que je détaille :

Soit $x\in E$ et $V$ un voisinage compact de $x$. On va directement exhiber un système fondamental $\mathcal V$ de voisinages compacts de $x$ dans $(E,\mathcal O)$.

Lemme : tout point $a$ d'un espace topologique $(X,\mathcal O)$ admet un système fondamental de voisinages fermés.
En effet, $\mathcal O_a:=\{\overline{O}, a\in O\in\mathcal O\}$ en est un.

Dans l'espace topologique $(V,\mathcal O_V)$ induit, $x$ admet donc d'après le lemme un système fondamental $\mathcal V$ de voisinages fermés. Pour avoir le résultat, il reste donc à montrer que chaque élément de $\mathcal V$ est un voisinage compact de $x$ dans $(E,\mathcal O)$.
Comme $V$ est compact et séparé, les éléments de $\mathcal V$ sont compacts dans $(V,\mathcal O_V)$. Puis, comme $V$ est compact, les éléments de $\mathcal V$ sont compacts dans $(E,\mathcal O)$.
Comme $V$ est un voisinage de $x$, les éléments de $\mathcal V$ sont des voisinages de $x$ dans $(E,\mathcal O)$.
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Comment démontres-tu le lemme ? L'argument donné ne va pas : pourquoi tout ouvert contenant $a$ devrait-il contenir l'adhérence d'un ouvert contenant $a$ ?
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Oups, c'est vrai, ce lemme est faux sad smiley
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Enfin, mon argument est faux. Mais le lemme, s'il est vrai, je n'arrive pas à le montrer.
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Il est faux. Par exemple si $E=\{a,b,c\}$ et $\tau$ est la topologie $\{\emptyset, \{a\}, E\}$ alors les voisinages de $a$ sont $\{a\}, \{a,b\}, \{a,c\}$ et $E$ dont aucun n'est fermé sauf $E$, qui n'est pas inclus dans le voisinage $\{a\}$ par exemple.
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Arf, merci.

Du coup, dans ma démonstration, est-il toutefois vrai que $x$ admet un système fondamental $\mathcal V$ de voisinages fermés dans $(V,\mathcal O_V)$ ? Car c'est ce qui est dit dans mon livre. Et vu que je pensais ça vrai à l'aide de mon lemme qui s'avère lui faux...
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Bah non, tu peux prendre $V=E$ dans mon message précédent grinning smiley
Re: Espace localement compact
il y a deux années
@demarrlesprobas

Ton lemme est vrai dans un espace localement compact (mais bon ça ne nous fait pas avancer) mais aussi dans un espace compact, ce qu'est $V$ muni de la topologie induite.
Démontre ton lemme dans un espace compact et applique le résultat à $V$ muni de sa topologie induite. Je ne sais pas si c'est plus simple...
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Montrer que tout point d'un espace compact a une base de voisinage fermés ou que tout point ayant un voisinage compact a une base de voisinage compacts, ça me semble exactement la même chose, non ? winking smiley
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Ben non, une fois ça démontré dans un espace compact, il faut l'appliquer à $V$ muni de sa topologie induite pour obtenir un voisinage compacte de $x$ inclus dans $U$, ça demande une étape supplémentaire (que je ne trouve pas évidente).
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Ah bon ? $V$ (avec sa topologie induite) est compact (un voisinage compact de $x$), et $U$ est un voisinage ouvert de $x$ contenu dans $V$. Explique-moi où tu vois une étape supplémentaire.
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Je ne sais pas si on s'est bien compris.
Au départ, on est dans un espace $E$ topologique et localement compact. On a un ouvert $U$ voisinage de $x$ et on voudrait trouver un voisinage compact de $x$ inclus dans $U$.
On a juste à notre disposition un voisinage compact $V$ de $x$ vu la compacité locale de l'espace dans lequel on travaille.
__________________________

Muni de sa topologie induite, $V$ est compact et $W=V \cap U$ est un voisinage de $x$ pour cette topologie, donc il existe $V'$ voisinage fermé (donc compact) pour la topologie induite sur $V$ tel que $V' \subset V \cap U$.

Or $V'$ étant un voisinage de $x$ pour la topologie induite sur $V$ et $V$ étant un voisinage de $x$, $V'$ est aussi un voisinage de $x$ pour la topologie de $E$. De plus il est compact et enfin il est inclus dans $U$. Il répond à la question.

Ce sont ces distinctions entre topologie de $E$ et topologie induite sur $V$ et la nécessité du dernier argument (paragraphe ci-dessus) qui font que je trouve ça plus simple si $E$ est tout simplement compact.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Blueberry.
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Blueberry, il semble que tu n'aies pas vu que depuis le commencement du fil, $U$ est un voisinage ouvert de $x$ contenu dans $V$. Je l'ai même explicitement rappelé dans mon dernier message. Tu ne l'as pas lu ?
Bien sûr, tu peux toujours prétendre qu'il n'est pas évident que les voisinages ouverts contenus dans le voisinage $V$ forment une base de voisinages de $x$, m'enfin ...
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Oui mais j'ai appelé malencontreusement $U$ autre chose mais je précise quoi dans le post qui précède le tien auquel je réponds. $U$ c'est un ouvert quelconque auquel $x$ appartient, je cherche à prouver qu'il existe un voisinage compact de $x$ inclus dans $U$.

Écoute je n'arrive pas à comprendre où tu veux en venir, ni ton scepticisme. J'ai avant le post auquel je te réponds présentement expliqué en quoi la démarche que je suggérais à notre ami ne me paraissait peut-être pas si simple en explicitant le raisonnement auquel j'avais pensé, c'est tout. Tu devrais être un peu moins soupçonneux, je suis de totale bonne foi dans cette histoire.
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Tu as nié que "montrer que tout point d'un espace compact a une base de voisinage fermés ou que tout point ayant un voisinage compact a une base de voisinage compacts, c'est exactement la même chose". Je t'ai montré que c'est la même chose. Tu n'avais pas vu qu'il suffit de raisonner avec un voisinage ouvert $U$ contenu dans le voisinage compact $V$ de $x$ (comme je l'ai fait depuis le début), c'est tout.
Là, c'est moi qui ne vois pas où tu veux en venir en contestant que c'est la même chose.
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Oui c'est bien ça que j'ai nié, là on est d'accord.
Oui on peut partir d'un voisinage ouvert contenu dans $V$ (et la je trouve que c'est déjà une étape qu'il ne faut pas louper), excuse-moi de ne pas t'avoir lu attentivement.
Ensuite une fois obtenu ton voisinage compact (pour la topologie de $V$) contenu dans $U$, il faut noter que c'est un voisinage de $x$ aussi pour la topologie de l'espace de départ (je suis d'accord que c'est évident).

Donc effectivement j'avais loupé ton $U$ et j'avais raisonné sans partir de $U \subset V$. Ce petit pas grand'chose que tu avais fait et que j'ai loupé + revenir à l'espace de départ , c'est pas dur mais ça a rendu pour moi le raisonnement pas si évident.

Bon ça a le mérite de m'avoir rendu parfaitement clair ta remarque.
Re: Espace localement compact
il y a deux années
On est bien d'accord finalement. Tant mieux !
Re: Espace localement compact
il y a deux années
@Blueberry : comment justifies-tu l'existence de ton voisinage fermé $V'$ ?
Re: Espace localement compact
il y a deux années
Je le justifie en utilisant le fait que dans un espace compact, tout point admet un système fondamental de voisinages fermés. Il faudrait le prouver évidemment. (Cela vient du fait que dans un compact, un point et un fermé auquel il n'appartient pas peuvent être séparés par des ouverts disjoints.)
Re: Espace localement compact
il y a deux années
C'est bon, je pense avoir éclairci ces aspects, non évidents je trouve.
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