Montrer que $\ell^p(\N)$ est de Banach

anthomedal
anthomedal
dans Topologie
Bonjour,

On pose pour $1 \leq p < +\infty$, \begin{equation}
\ell^p(\mathbb{N}) = \big\{ (u_n)_n \in \mathbb{R}^\mathbb{N} \mid \sum_{n = 0}^{+ \infty} |u_n|^p < + \infty \big\}
\end{equation} qu'on munit de la norme : \begin{equation}
||u||_p = \Big( \sum_{n = 0}^{+ \infty} |u_n|^p \Big) ^{\frac{1}{p}}
\end{equation}
J'aimerais montrer que $\ell^p(\mathbb{N}) $ est complet mais je ne vois pas du tout comment faire... Si quelqu'un a une indication

Merci d'avance.

Réponses

  • mojojojo
    mojojojo
    Pour montrer qu'un espace est complet il s'agit presque toujours des mêmes étapes à effectuer :
    1) Prendre une suite de Cauchy $(u_n)_n$.
    2) Identifier un candidat potentiel $u$ pour la limite.
    3) Montrer que $u$ est bien dans l'espace de départ.
    4) Montrer qu'on a bien $\lim_{n\to \infty} u_n = u$.

    Indication pour la partie 2 : On note $u_n=(u_n^k)_k= (u_n^0,u_n^1 , \ldots) $. Montrer que le fait que $(u_n)_n$ soit de Cauchy dans $\ell^p$ implique que la suite $(u_n^k)_n$ est de Cauchy dans $\mathbf R$ pour tout entier $k\in \mathbf N$.
  • Boole et Bill
    Boole et Bill
    Bonjour, un indice : l’ensemble des nombres réels est complet pour la norme usuellle (la valeur absolue).
  • Poirot
    Poirot
    Il s'agit surtout d'un exercice de notation, le plus dur est de ne pas se perdre entre les suites de complexes, les suites de suites, etc.
  • anthomedal
    anthomedal
    Je suis bien d'accord avec Poirot, je sens que ce n'est pas compliqué mais le fait de considérer des suites de suites demande un peu d'abstraction !

    Merci de vos conseils je vais réfléchir !
  • anthomedal
    anthomedal
    J'ai réussi ! Merci beaucoup !
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