Topologie et L2

yaya1103 · October 2018

Bonjour à tous.
Je suis actuellement en deuxième année de physique-math et me voilà confronter à la partir "CALCUL DIFFÉRENTIEL" qui fait intervenir des notions de topologie.

Le problème, c'est que je ne comprends absolument rien à la topologie. Je connais les définitions de boules ouvertes, fermées, les distances, mais en le reste je suis perdu complètement. Et en mathématique, il ne suffit pas d'apprendre mais comprendre de quoi on parle. Seulement, mon souci est que je n'arrive pas à me visualiser tout ce domaine et cela me frustre car je voudrais absolument comprendre. Quand je suis confronté aux exercices je ne comprends rien et encore moins à la correction (majoration, continuité etc...).

Loin de là à critiquer les mathématiques qui sont pour moi une science extraordinaire, mais je me demande seulement en quoi la topologie ou le calcul différentiel pourrait m'aider dans la physique plus tard.
Bien sûr, mon message n'est pas un message de plainte mais au contraire, un appel à l'aide pour me permettre de me débloquer de cela.

J'aimerais savoir plusieurs choses : Comment comprendre la topologie ou même comprendre le calcul différentiel, quelles sont les analogies qui peuvent m'aider à visualiser ce domaine, les ouvrages qui pourraient m'aider, les méthodes à acquérir et exécuter face à des problèmes de calcul différentiel, etc.

Bien Cordialement,
Yaya1103

Math Coss · October 2018

La topologie, c'est ce qui va te servir à formaliser les notions de limite. Sans limite, pas de dérivée, pas de dérivées partielles, pas de calcul différentiel, quoi.

Or le calcul différentiel, c'est le langage de pratiquement toute la physique : il est bien rare qu'un problème physique se résolve en considérant seulement une fonction réelle d'une variable réelle. Pourquoi ? Simplement parce qu'il faut faire intervenir plusieurs paramètres ! D'ailleurs, Newton est un des fondateurs du calcul différentiel (vrai : pas tout à fait au sens où tu dois l'apprendre sans doute) et de la mécanique (dite newtonienne, d'ailleurs).

En mécanique, si tu « intègres » l'équation fondamentale de la mécanique, tu obtiens quelque chose comme « énergie potentielle + énergie cinétique = constante ». Comment retrouver les forces à partir de l'énergie potentielle ? En dérivant, naturellement, mais comment ? L'énergie potentielle dépend de plusieurs paramètres. En thermodynamique, on ne peut même pas exprimer le deuxième principe sans calcul différentiel (« $\frac{\delta Q}{T}$ est la différentielle d'une fonction d'état, l'entropie ») ; en fait, le premier principe s'en trouverait tout amoindri aussi sans calcul différentiel. (Pour ma part, la thermodynamique m'a énormément aidé à comprendre (un peu) le calcul différentiel.)

gerard0 · October 2018

Bonjour Yaya1103.

Si tu es visuel, tu peux facilement représenter les boules de $\mathbb R^2$ muni de la distance euclidienne ($d((a,b),(c,d))=\sqrt{(c-a)^2+(d-b)^2}$), puisque ce sont des disques du plan.
Pour éviter les mauvaises compréhension, tu peux aussi faire la même chose avec $\mathbb Z^2$, où tu verras que les boules de rayon 0,5, fermées ou ouvertes, sont identiques, et réduites à un point.

Cordialement.

Topologie et L2

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