Réalisation de la distance à une partie
Bonjour, je me pose la question suivante : est-il vrai, en général, que pour une partie non vide $A\subset E$ d'un espace métrique $(E,d)$ et pour $x\in E$,
\[ \exists a\in\bar{A} : \operatorname{dist}(x,A)=d(x,a) \]
Lorsque $A$ est compact, la chose est facile à montrer :
Par caractérisation de la borne inf, on a $(d_n)_n\in \mathbb{R}^\mathbb{N}$ telle que
\[ d_n = d(x,a_n) \xrightarrow[n\to\infty]{} \operatorname{dist}(x,A) \quad\text{ avec } a_n \in A \]
Par compacité de $A$, on extrait alors $(a_{\varphi(n)})_n$ convergente, et on a trouvé notre $a=\lim_{n\to\infty}a_{\varphi(n)}$.
Maintenant, si $E$ est un espace vectoriel normé de dimension finie, il me semble que l'on peut facilement adapter l'argument :
puisque $d(x,a_n)$ tend vers une valeur finie, alors $(a_n)_n$ est forcément bornée pour $d$, donc elle est à valeur dans une partie bornée $A'$.
Donc est elle à valeur dans le fermé-borné $\bar{A'}$, donc compact car on est en dimension finie.
Maintenant, en EVN de dimension infinie, je n'ai aucune idée. J'ai cherché un contre-exemple en prenant la distance à la boule unité (qui n'est pas compacte par le théorème de Riesz), mais à chaque fois je trouve un point de $\bar{B}(0,1)$ réalisant la distance $d(x,\bar{B}(0,1))$...
Des idées de contre-exemples ? Ou une démonstration si c'est vrai en général ? Merci d'avance.
\[ \exists a\in\bar{A} : \operatorname{dist}(x,A)=d(x,a) \]
Lorsque $A$ est compact, la chose est facile à montrer :
Par caractérisation de la borne inf, on a $(d_n)_n\in \mathbb{R}^\mathbb{N}$ telle que
\[ d_n = d(x,a_n) \xrightarrow[n\to\infty]{} \operatorname{dist}(x,A) \quad\text{ avec } a_n \in A \]
Par compacité de $A$, on extrait alors $(a_{\varphi(n)})_n$ convergente, et on a trouvé notre $a=\lim_{n\to\infty}a_{\varphi(n)}$.
Maintenant, si $E$ est un espace vectoriel normé de dimension finie, il me semble que l'on peut facilement adapter l'argument :
puisque $d(x,a_n)$ tend vers une valeur finie, alors $(a_n)_n$ est forcément bornée pour $d$, donc elle est à valeur dans une partie bornée $A'$.
Donc est elle à valeur dans le fermé-borné $\bar{A'}$, donc compact car on est en dimension finie.
Maintenant, en EVN de dimension infinie, je n'ai aucune idée. J'ai cherché un contre-exemple en prenant la distance à la boule unité (qui n'est pas compacte par le théorème de Riesz), mais à chaque fois je trouve un point de $\bar{B}(0,1)$ réalisant la distance $d(x,\bar{B}(0,1))$...
Des idées de contre-exemples ? Ou une démonstration si c'est vrai en général ? Merci d'avance.
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Réponses
Prends dans $\R^2$ l'hyperbole $H$ d'équation $xy=1$ et regarde $d((0,0),H)$
Le point n'est pas unique ($(-1,-1)$ marche aussi) mais je ne vois pas en quoi c'est un contre-exemple ?
De toute façon, comme je l'ai dit, en dimension finie ça m'a l'air d'être toujours vrai.
Je réfléchirai à ta question!
Tu peux prendre $l^{\infty}$ avec sa norme habituelle $\Vert\cdot \Vert_{\infty}$ et la suite $u_n=(0,\ldots,0,1+1/n,0,\ldots).$
Si on pose $U:=\{u_n,n\ge 0\}$ alors $U$ est fermé borné, $d(0,U)=1$ mais...
Ce n'est pas très convaincant parce qu'on peut mimer cet exemple en dimension finie en prenant pour $A$ le disque unité fermé privé de $(1,0)$ et pour point, disons, $(2,0)$.
Tout ça pour dire qu'il faut au moins supposer $A$ fermée.
Edit : je n'avais pas fait attention à la petite barre sur le $A$ dans « $\exists a\in \bar{A}$ » du premier message. Ce post est donc inutile.
Je n'ai pas bien compris ce que je peux faire avec cette suite de suites ?
Dans le fond, je cherche un point $x$ de $E$ (par exemple $\ell^{\infty}$) tel qu'il n'existe pas de $y\in \bar{B}(0_E,1)$ tel que $\operatorname{dist}(x,\bar{B}(0_E,1))=d(x,y)$ (par exemple, ou toute autre partie fermée non compacte).
$E=\mathbb R[X]$ avec comme norme le maximum des valeurs absolues des coeffcients, $A=\{ 2^{-n}X^n\mid n\in \mathbb N\}$, $x=0$.
Mais alors il y a une suite de ce sous-espace dense qui tend vers ce vecteur, donc la limite de cette suite est bien une réalisation de la distance pour l'adhérence.
En fait, je cherche un point dans l'adhérence de $A$ qui réalise la distance, donc ça revient au même car $\operatorname{dist}(x,A)=\operatorname{dist}(x,\bar{A})$.
$\Vert 0 - 2^{-n}X^n \Vert = 2^{-n} \xrightarrow[n\to \infty]{} 0$ donc $\operatorname{dist}(0,A)=0$ et alors $0\in\bar{A}$ réalise bien la distance, non ?