Réalisation de la distance à une partie

xif
xif
dans Topologie
Bonjour, je me pose la question suivante : est-il vrai, en général, que pour une partie non vide $A\subset E$ d'un espace métrique $(E,d)$ et pour $x\in E$,
\[ \exists a\in\bar{A} : \operatorname{dist}(x,A)=d(x,a) \]

Lorsque $A$ est compact, la chose est facile à montrer :
Par caractérisation de la borne inf, on a $(d_n)_n\in \mathbb{R}^\mathbb{N}$ telle que
\[ d_n = d(x,a_n) \xrightarrow[n\to\infty]{} \operatorname{dist}(x,A) \quad\text{ avec } a_n \in A \]
Par compacité de $A$, on extrait alors $(a_{\varphi(n)})_n$ convergente, et on a trouvé notre $a=\lim_{n\to\infty}a_{\varphi(n)}$.


Maintenant, si $E$ est un espace vectoriel normé de dimension finie, il me semble que l'on peut facilement adapter l'argument :
puisque $d(x,a_n)$ tend vers une valeur finie, alors $(a_n)_n$ est forcément bornée pour $d$, donc elle est à valeur dans une partie bornée $A'$.
Donc est elle à valeur dans le fermé-borné $\bar{A'}$, donc compact car on est en dimension finie.


Maintenant, en EVN de dimension infinie, je n'ai aucune idée. J'ai cherché un contre-exemple en prenant la distance à la boule unité (qui n'est pas compacte par le théorème de Riesz), mais à chaque fois je trouve un point de $\bar{B}(0,1)$ réalisant la distance $d(x,\bar{B}(0,1))$...

Des idées de contre-exemples ? Ou une démonstration si c'est vrai en général ? Merci d'avance.

Réponses

  • Magnolia
    Magnolia
    Bonjour

    Prends dans $\R^2$ l'hyperbole $H$ d'équation $xy=1$ et regarde $d((0,0),H)$
  • xif
    xif
    On a $d((0,0),H)=\sqrt{2}=d((0,0),(1,1))$ donc ça marche bien, non ?
    Le point n'est pas unique ($(-1,-1)$ marche aussi) mais je ne vois pas en quoi c'est un contre-exemple ?
    De toute façon, comme je l'ai dit, en dimension finie ça m'a l'air d'être toujours vrai.
  • Magnolia
    Magnolia
    Oui, tu as raison, c'est un contrexemple pour la distance entre deux fermés qui n'est pas atteinte (en prenant H et la réunion des deux axes).

    Je réfléchirai à ta question!
  • Krokop
    Krokop
    Bonjour,

    Tu peux prendre $l^{\infty}$ avec sa norme habituelle $\Vert\cdot \Vert_{\infty}$ et la suite $u_n=(0,\ldots,0,1+1/n,0,\ldots).$

    Si on pose $U:=\{u_n,n\ge 0\}$ alors $U$ est fermé borné, $d(0,U)=1$ mais...
  • Math Coss
    Math Coss
    Un exemple un peu crétin consiste à choisir un sous-espace vectoriel dense dans un espace de dimension infinie et un vecteur hors de ce sous-espace. Par exemple, dans $E=\mathscr{C}^0\bigl([0,1]\bigr)$ muni de la norme infinie ou la norme $1$ ou la norme $2$ ou..., prendre pour $A$ l'espace des polynômes et pour vecteur une fonction non polynomiale comme le sinus ou l'exponentielle ou...

    Ce n'est pas très convaincant parce qu'on peut mimer cet exemple en dimension finie en prenant pour $A$ le disque unité fermé privé de $(1,0)$ et pour point, disons, $(2,0)$.

    Tout ça pour dire qu'il faut au moins supposer $A$ fermée.

    Edit : je n'avais pas fait attention à la petite barre sur le $A$ dans « $\exists a\in \bar{A}$ » du premier message. Ce post est donc inutile.
  • xif
    xif
    Krokop a écrit:
    Tu peux prendre $l^{\infty}$ avec sa norme habituelle $\Vert\cdot \Vert_{\infty}$ et la suite $u_n=(0,\ldots,0,1+1/n,0,\ldots).$

    Je n'ai pas bien compris ce que je peux faire avec cette suite de suites ?

    Dans le fond, je cherche un point $x$ de $E$ (par exemple $\ell^{\infty}$) tel qu'il n'existe pas de $y\in \bar{B}(0_E,1)$ tel que $\operatorname{dist}(x,\bar{B}(0_E,1))=d(x,y)$ (par exemple, ou toute autre partie fermée non compacte).
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Même exemple que Krokop, à peu près :
    $E=\mathbb R[X]$ avec comme norme le maximum des valeurs absolues des coeffcients, $A=\{ 2^{-n}X^n\mid n\in \mathbb N\}$, $x=0$.
  • xif
    xif
    Math Coss a écrit:
    Un exemple un peu crétin consiste à choisir un sous-espace vectoriel dense dans un espace de dimension infinie et un vecteur hors de ce sous-espace [...]

    Mais alors il y a une suite de ce sous-espace dense qui tend vers ce vecteur, donc la limite de cette suite est bien une réalisation de la distance pour l'adhérence.
    Math Coss a écrit:
    Tout ça pour dire qu'il faut au moins supposer $A$ fermée.

    En fait, je cherche un point dans l'adhérence de $A$ qui réalise la distance, donc ça revient au même car $\operatorname{dist}(x,A)=\operatorname{dist}(x,\bar{A})$.
  • xif
    xif
    GaBuZoMeu a écrit:
    $E=\mathbb R[X]$ avec comme norme le maximum des valeurs absolues des coeffcients, $A=\{2^{-n}X^n\mid n\in \mathbb N\}$, $x=0$.

    $\Vert 0 - 2^{-n}X^n \Vert = 2^{-n} \xrightarrow[n\to \infty]{} 0$ donc $\operatorname{dist}(0,A)=0$ et alors $0\in\bar{A}$ réalise bien la distance, non ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Oui au temps pour moi, je reviens à l'exemple de Krokop : $A=\{(1+2^{-n})X^n\mid n\in \mathbb N\}$, $x=0$.
  • xif
    xif
    Ha oui en effet, ça fonctionne, merci ! J'avais mal lu le post de Krokop, désolé...
  • xif
    xif
    Tant que j'y suis, quelqu'un a-t-il un argument élégant pour montrer que $A$ est fermée dans l'exemple donné ci-dessus ? Ça fonctionne à la main avec des suites, mais c'est assez moche.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Si $P\not\in A$, alors $d(P,A)>0$.
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