Compact-ouvert

elodouwen
elodouwen
dans Topologie
Bonjour,
je fais le point sur les compacts, et j'en arrive à cette question, un compact peut-il être ouvert ?

J'aurais envie de dire non (sauf si évidemment on parle de l'espace tout entier ou de la topologie induite sur l'ensemble considéré s'il est plongé dans un autre)

J'ai ce contre-exemple bizarre de $\mathbb{N}$, avec les parties finies comme base des fermés. Alors tout ouvert de $\mathbb{N}$ vérifie Borel Lebesgue. Mais on n'est pas $T_2$ donc on ne peut pas parler de compacité.

Autre contre exemple, $\mathbb{R}$ avec comme base des ouverts les $[a,+\infty[$ mais là encore on n'est même pas $T_1$.

Que peut-on dire si $E$ est un espace $T_2$ et que $X$ est un compact strictement inclus dans $E$ ? Est-il possible d'avoir $X$ ouvert ?
Vincent

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Il suffit de prendre la topologie discrète sur un ensemble fini. Chaque singleton est compact et ouvert. Et la topologie est bien séparée.
  • elodouwen
    elodouwen
    Oui c'est vrai. Est-il possible de trouver moins trivial ?

    Autre question tant que j'y suis : que peut-on dire des topologies où les ouverts coïncident avec les fermés ? Exemple, si je prends un ensemble quelconque $E$ et une partie stricte $A$ de $E$, et que je décrète que je prends $\{E,\emptyset,A,A^c\}$ comme liste des ouverts. A-t-on des topologies moins triviales que ça et ayant un intérêt, dans lesquelles c'est le cas ?
  • Poirot
    Poirot
    Une réunion de la forme $\bigcup_i K_i$ où les $K_i$ sont des compacts d'un espace métrique vérifiant $\inf_{i \neq j} d(K_i, K_j) > 0$ te donnera, pour la topologie induite, des compacts ouverts.

    Pour la deuxième question je ne sais pas ce que tu cherches à faire. Encore une fois la topologie discrète (sur n'importe quel ensemble) vérifie la même chose.
  • elodouwen
    elodouwen
    Je ne comprends pas très bien,
    veux tu dire que $U_n=[2n,2n+1]$ est un compact ? Pourtant n'est-il pas recouvert par $U_n=]2n-\epsilon,2n+1+\epsilon[$ ?
    Et en quoi serait-il ouvert ?

    J'ai dû mal interpréter ton union ?

    Pour le second point, je cherche juste des exemples de topologies inhabituelles, pas à prouver quoi que ce soit.
    Vincent
  • Tryss
    Tryss
    $[0,1]$ est un compact ouvert de $[0,1] \cup [2,3]$ muni de la topologie usuelle
  • Poirot
    Poirot
    Oui ton $U_n$ est compact en tant que fermé borné dans un $\mathbb R$-espace vectoriel de dimension finie. Je ne comprends pas de quel recouvrement tu parles.

    Je formalise un peu plus. Soit $(X, d)$ un espace métrique et soit $(K_i)_{i \in I}$ une famille de compacts de $X$ tels que $$\inf_{i \neq j} d(K_i, K_j) > 0.$$ Alors pour la topologie induite sur $$\bigcup_{i \in I} K_i,$$ chaque $K_i$ est un compact ouvert. Le caractère compact est évident, et le caractère ouvert provient de la condition sur les distances entre les $K_i$ : on peut alors toujours trouver un ouvert $U$ de $X$ tel que $K_i \subset X$ et $K_j \cap U = \emptyset$ pour tout $j \neq i$.

    Tryss vient de donner un cas particulier de ce dont je te parle où $X=\mathbb R$ et $I$ est de cardinal $2$.
  • elodouwen
    elodouwen
    Merci je croyais que tu disais que l'union était compacte c'est pourquoi je ne comprenais pas,
    tout est clair, merci.

    Pour la seconde question, j'ai survolé l'article de wikipedia sur les p-adiques, où j'ai l'impression qu'il y a des ouverts-fermés, je vais continuer dans cette direction.

    Vincent

    [Toute phrase commence par une majuscule. ;-) AD]
  • Poirot
    Poirot
    Oui dans $\mathbb Q_p$ les boules fermées sont les boules ouvertes et l'espace est totalement discontinu !
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