Topologie induite métrisable

panam · November 2018

Bonjour,

J'aimerais savoir si la topologie induite par une topologie métrisable est métrisable.

Par exemple si je considère l'ensemble $X = ]0,1[\cup]1,2[$ muni de la topologie induite par la topologie usuelle sur $\mathbb{R}$, la topologie induite est-elle celle induite par $|\cdot|$ ? i.e $(X, \text{topologie trace})$ et $(X,|\cdot|)$ ont-il la même topologie ?
Plus généralement est-elle métrisable ?

Merci

Poirot · November 2018

N'est-il pas clair que si $(X,d)$ est un espace métrique, et que $A \subset X$ alors la topologie induite sur $A$ est la topologie métrique associée à la restriction de $d$ à $A \times A$ ?

Tu peux le montrer par exemple en disant qu'une partie de $B$ de $A$ est voisinage de $x \in A$ pour la topologie induite si et seulement si $B$ est de la forme $V \cap A$, où $V$ est un voisinage de $x$ dans $X$.

Topologie induite métrisable

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