Topologie induite métrisable
Bonjour,
J'aimerais savoir si la topologie induite par une topologie métrisable est métrisable.
Par exemple si je considère l'ensemble $X = ]0,1[\cup]1,2[$ muni de la topologie induite par la topologie usuelle sur $\mathbb{R}$, la topologie induite est-elle celle induite par $|\cdot|$ ? i.e $(X, \text{topologie trace})$ et $(X,|\cdot|)$ ont-il la même topologie ?
Plus généralement est-elle métrisable ?
Merci
J'aimerais savoir si la topologie induite par une topologie métrisable est métrisable.
Par exemple si je considère l'ensemble $X = ]0,1[\cup]1,2[$ muni de la topologie induite par la topologie usuelle sur $\mathbb{R}$, la topologie induite est-elle celle induite par $|\cdot|$ ? i.e $(X, \text{topologie trace})$ et $(X,|\cdot|)$ ont-il la même topologie ?
Plus généralement est-elle métrisable ?
Merci
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Réponses
Tu peux le montrer par exemple en disant qu'une partie de $B$ de $A$ est voisinage de $x \in A$ pour la topologie induite si et seulement si $B$ est de la forme $V \cap A$, où $V$ est un voisinage de $x$ dans $X$.