Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
195 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Fonction définie sur un compact

Envoyé par eoghan 
Fonction définie sur un compact
06 novembre 2018, 21:01
Bonjour à tous, je bloque sur l'exercice suivant.

Soit $ (E, \tau)$ un espace topologique séparé.
Soit $K$ une partie compacte de $E$, $K$ non vide.
Soit $f : K \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue.
Alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.

J'ai réussi à montrer que $f$ est bornée.
Pour la deuxième partie, j'ai montré qu'il existait $(x_n)$ une suite de $K$ tq $ M - \dfrac{1}{n} \leq f(x_n) \leq M$ où $M = \sup\limits_{x \in K} f(x)$
Par compacité de $K$, il existe $(x_{\Phi(n)})$ sous-suite de $(x_n)$ tq $(x_{\Phi(n)})$ converge, on note $\ell \in E$ sa limite.
J'ai montré que $f(\ell) = M$, il ne me reste plus qu'à montrer que $\ell \in K$, et c'est ici que je bloque.

J'ai pensé à une preuve par l'absurde, en utilisant le fait que $E$ est séparé, mais je ne parviens pas à conclure.
Si quelqu'un pouvait m'aider.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 06/11/2018 23:08 par AD.
Re: fonction définie sur un compact
06 novembre 2018, 21:29
Attention, compact n'implique pas en général séquentiellement compact: tu ne peux pas toujours extraire des sous-suites. Cette équivalence est valable pour les compacts métriques, mais pas les compacts quelconques.

Par contre tu peux raisonner sur $f(K) \subset \mathbb{R}$ : tu peux montrer que c'est aussi un compact, et ensuite montrer qu'un compact de $\mathbb{R}$ (qui, lui, est métrique si ça peut t'aider) contient toujours son $\sup$ et son $\inf$

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Fonction définie sur un compact
08 novembre 2018, 18:26
Merci de votre réponse, je ne connaissais pas la notion de séquentiellement compact. En relisant mon exercice, j'ai remarqué que $E$ était supposé métrique, je suis finalement parvenu à répondre à la question.
Re: Fonction définie sur un compact
09 novembre 2018, 14:24
Mais l'énoncé est valable même si $E$ n'est pas métrique; il suffit de $E$ quasicompact.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 151 833, Messages: 1 545 127, Utilisateurs: 28 379.
Notre dernier utilisateur inscrit Jonel.


Ce forum
Discussions: 3 520, Messages: 40 216.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page