Fonction définie sur un compact
Bonjour à tous, je bloque sur l'exercice suivant.
Soit $ (E, \tau)$ un espace topologique séparé.
Soit $K$ une partie compacte de $E$, $K$ non vide.
Soit $f : K \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue.
Alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.
J'ai réussi à montrer que $f$ est bornée.
Pour la deuxième partie, j'ai montré qu'il existait $(x_n)$ une suite de $K$ tq $ M - \dfrac{1}{n} \leq f(x_n) \leq M$ où $M = \sup\limits_{x \in K} f(x)$
Par compacité de $K$, il existe $(x_{\Phi(n)})$ sous-suite de $(x_n)$ tq $(x_{\Phi(n)})$ converge, on note $\ell \in E$ sa limite.
J'ai montré que $f(\ell) = M$, il ne me reste plus qu'à montrer que $\ell \in K$, et c'est ici que je bloque.
J'ai pensé à une preuve par l'absurde, en utilisant le fait que $E$ est séparé, mais je ne parviens pas à conclure.
Si quelqu'un pouvait m'aider.
Soit $ (E, \tau)$ un espace topologique séparé.
Soit $K$ une partie compacte de $E$, $K$ non vide.
Soit $f : K \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue.
Alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.
J'ai réussi à montrer que $f$ est bornée.
Pour la deuxième partie, j'ai montré qu'il existait $(x_n)$ une suite de $K$ tq $ M - \dfrac{1}{n} \leq f(x_n) \leq M$ où $M = \sup\limits_{x \in K} f(x)$
Par compacité de $K$, il existe $(x_{\Phi(n)})$ sous-suite de $(x_n)$ tq $(x_{\Phi(n)})$ converge, on note $\ell \in E$ sa limite.
J'ai montré que $f(\ell) = M$, il ne me reste plus qu'à montrer que $\ell \in K$, et c'est ici que je bloque.
J'ai pensé à une preuve par l'absurde, en utilisant le fait que $E$ est séparé, mais je ne parviens pas à conclure.
Si quelqu'un pouvait m'aider.
Réponses
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Attention, compact n'implique pas en général séquentiellement compact: tu ne peux pas toujours extraire des sous-suites. Cette équivalence est valable pour les compacts métriques, mais pas les compacts quelconques.
Par contre tu peux raisonner sur $f(K) \subset \mathbb{R}$ : tu peux montrer que c'est aussi un compact, et ensuite montrer qu'un compact de $\mathbb{R}$ (qui, lui, est métrique si ça peut t'aider) contient toujours son $\sup$ et son $\inf$ -
Merci de votre réponse, je ne connaissais pas la notion de séquentiellement compact. En relisant mon exercice, j'ai remarqué que $E$ était supposé métrique, je suis finalement parvenu à répondre à la question.
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Mais l'énoncé est valable même si $E$ n'est pas métrique; il suffit de $E$ quasicompact.
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Bonjour!
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