Fonction définie sur un compact

Bonjour à tous, je bloque sur l'exercice suivant.

Soit $ (E, \tau)$ un espace topologique séparé.
Soit $K$ une partie compacte de $E$, $K$ non vide.
Soit $f : K \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue.
Alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.

J'ai réussi à montrer que $f$ est bornée.
Pour la deuxième partie, j'ai montré qu'il existait $(x_n)$ une suite de $K$ tq $ M - \dfrac{1}{n} \leq f(x_n) \leq M$ où $M = \sup\limits_{x \in K} f(x)$
Par compacité de $K$, il existe $(x_{\Phi(n)})$ sous-suite de $(x_n)$ tq $(x_{\Phi(n)})$ converge, on note $\ell \in E$ sa limite.
J'ai montré que $f(\ell) = M$, il ne me reste plus qu'à montrer que $\ell \in K$, et c'est ici que je bloque.

J'ai pensé à une preuve par l'absurde, en utilisant le fait que $E$ est séparé, mais je ne parviens pas à conclure.
Si quelqu'un pouvait m'aider.