Suite convergente et compact
Salut,
Le test ci-dessous oublie de préciser que $(E,\mathcal T)$ est séparé, n'est-ce pas ?
(la définition de compact de ce cours étant quasi-compact et séparé)
Le test ci-dessous oublie de préciser que $(E,\mathcal T)$ est séparé, n'est-ce pas ?
(la définition de compact de ce cours étant quasi-compact et séparé)
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Réponses
Pour la peine, voici ma démonstration de la quasi-compacité.
Soit $(O_i)_{i\in I}\in\mathcal T^I$ tel que $C\subset\cup_{i\in I}O_i$.
Comme $l\in C$, il existe $i_l\in I$ tel que $l\in O_{i_l}$.
Or $(x_n)_{n\in\mathbf N}$ converge vers $l$ et $O_{i_l}$ est un voisinage de $l$ donc il existe $N\in\mathbf N^{*}$ tel que $\forall n\geq N, x_n\in O_{i_l}$.
D'autre part, $\forall k\in\{0,\dots,N-1\}, \exists i_k\in I$ tel que $x_k\in O_{i_k}$ (car $x_k\in C$).
Donc $(O_{i_0},\dots, O_{i_{N-1}},O_{i_l})$ est un sous-recouvrement fini de $(O_i)_{i\in I}$.