Suite convergente et compact

Démarrelesprobas

November 2018 dans Topologie

Salut,

Le test ci-dessous oublie de préciser que $(E,\mathcal T)$ est séparé, n'est-ce pas ?

(la définition de compact de ce cours étant quasi-compact et séparé)

Réponses

• 

  Georges Abitbol

  November 2018

  Ou voulait dire "quasicompact" à la place de "compact".
• 

  Démarrelesprobas

  November 2018

  D'accord merci.
  
  Pour la peine, voici ma démonstration de la quasi-compacité.
  
  Soit $(O_i)_{i\in I}\in\mathcal T^I$ tel que $C\subset\cup_{i\in I}O_i$.
  Comme $l\in C$, il existe $i_l\in I$ tel que $l\in O_{i_l}$.
  Or $(x_n)_{n\in\mathbf N}$ converge vers $l$ et $O_{i_l}$ est un voisinage de $l$ donc il existe $N\in\mathbf N^{*}$ tel que $\forall n\geq N, x_n\in O_{i_l}$.
  D'autre part, $\forall k\in\{0,\dots,N-1\}, \exists i_k\in I$ tel que $x_k\in O_{i_k}$ (car $x_k\in C$).
  Donc $(O_{i_0},\dots, O_{i_{N-1}},O_{i_l})$ est un sous-recouvrement fini de $(O_i)_{i\in I}$.

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