Application fermée et homéomorphisme

Il est sans doute plus clair d'écrire que $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ (mais bon, c'est un détail!)
J'aurais dit par hypothèse : $f$ est surjective ( argument de connexité car $f$ est continue).
Par l'argument présenté par Phare, $f$ est injective.
Donc $f$ est bijective et sa réciproque est continue car est une application fermée!

bonsoir,

si j'ai bien compris l'argument de Phare, dès que l'espace est connexe par arc, on a l'injectivité.

Pour la question dans le plan, il reste à prouver la surjectivité (c'est là où je pense que le raisonnement de bobbyjoe sur la surjectivité est un peu rapide).

Dans $\mathbf{R}$, on dit un truc du genre : $\mathbf{R}$ est connexe donc son image par $f$ est connexe; donc c'est un connexe de $\mathbf{R}$, fermé qui plus est d'après l'hypothèse de l'exercice donc c'est un intervalle fermé (on connaît les connexes de $\mathbf{R}$).
$f$ est injective et continue donc elle est strictement monotone sur $\mathbf{R}$ et son maximum (ou minimum) ne peut être atteint.
Donc $f(\mathbf{R})$ n'est pas majoré ni minoré, $f$ est surjective.

Dans $\mathbf{R}^2$ je m'embrouille un peu, une piste ?

Non, une fonction constante ne vérifie pas l'équivalence "$F$ fermé $\Leftrightarrow f(F)$ fermé" et n'est pas un homéomorphisme.

Soit $f\colon \mathbf{R}\to \mathbf{R}$ constante, $f(x)=p$ pour tout $x\in \mathbf{R}$.

$f$ est continue.

Si $F\subset \mathbf{R}$ est fermé, $f(F)=\{p\}$ où $\emptyset$ donc est fermé.

Si $G\subset \mathbf{R}$, de deux choses l'une :

• soit $G$ contient $p$ et $f^{-1}(G)=\mathbf{R}$ est fermé;
• soit $G$ ne contient pas $p$ et $f^{-1}(G)=\emptyset$ est fermé.

Je fais fausse route ?

Oui tu fais fausse route. Soit $F = ]0, 1[$. Alors $f(F)$ est fermé, pourtant $F$ n'est pas fermé... Tu parles d'image réciproque comme si $f^{-1}(f(F))=F$, ce qui est bien sûr faux en général !