Passage à la douane

elodouwen · November 2018

Bonjour
je cherche une démo de ce théorème rencontré dans wikipedia :

wikipedia a écrit:

Théorème du passage à la douane : dans un espace topologique, toute partie connexe A qui rencontre à la fois une partie C et son complémentaire rencontre nécessairement la frontière de C.

Si je regarde l'intersection de A et de l'intérieur de C, et l'intersection de A et de l'intérieur de $C^c$, est-ce que j'obtiens ainsi, en raisonnant par l'absurde, une partition de A en deux ouverts ?

Phare · November 2018

Si X est le dit espace topologique alors
$X= int(C)\cup Fr(C) \cup Ad(C)^c$

A toi de trouver les ouverts.

elodouwen · November 2018

Bon, c'est exactement ce que je disais non ?
je ne sais pas pourquoi j'avais un doute
je résume alors :
$X$ égale :
* $X$ inter l'intérieur de $C$
union
* $X$ inter frontière de $C$
(la frontière étant l'adhérence dont on ote l'intérieur)
union
* complémentaire de l'adhérence de $X$

donc si $X$ ne rencontre pas la frontière, alors $X$ est union de deux ouverts disjoints donc non connexe.

en fait mon doute était lié à la question suivante :
est-ce que l'intérieur du complémentaire c'est pareil que le complémentaire de l'adhérence ?

Math Coss · November 2018

Elodouwen, tu sembles avoir opéré un glissement de notation entre tes deux messages. Comme tu écris $X\cap \mathrm{Int}(C)$ ou $X\cap\mathrm{Adh}{C}$, on comprend que $X$ est la partie que tu as notée $A$ dans ton premier message (sans quoi ces intersections sont évidemment $\mathrm{Int}(C)$ et $\mathrm{Adh}(C)$), alors que pour Phare, plus respectueux de tes notations que toi, $X$ est l'espace ambiant dans lequel on parle d'une partie $A$.

Il aurait mieux valu écrire quelque chose du genre suivant. Comme $X= \mathrm{Int}(C)\cup \mathrm{Fr}(C) \cup \mathrm{Adh}(C)^c$, si on suppose que $A\cap\mathrm{Fr}(C)=\emptyset$, alors $A= \bigl(A\cap\mathrm{Int}(C)\bigr)\cup\bigl(A\cap\mathrm{Adh}(C)^c\bigr)$, ce qui exprime que $A$ est la réunion de deux ouverts non vides. Autrement dit, $A$ n'est pas connexe.

Passage à la douane

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