Difféomorphisme

geo · November 2018

Bonjour
Je cherche à montrer que le plan $\mathbb{R}^2$ est difféomorphe au disque unité ouvert $D(0,1)$

Je considère la fonction $f$ donnée par $f(x)=\frac{x}{1+||x||}$ de $\mathbb{R}^2$ dans $D(0,1)$
Le problème c'est que je n'arrive pas à démontrer qu'elle est bijective (ie: je n'arrive pas à trouver la fonction inverse)
Auriez-vous une piste ?

Merci.

Math Coss · November 2018

Pour commencer, est-ce que tu saurais d'abord montrer que l'application $\left[0,+\infty\right[\to\left[0,1\right[$, $x\mapsto \frac{x}{1+|x|}$ est une bijection ?

geo · November 2018

oui
Mais dans le cas du plan je suis embêté avec la norme.

Krokop · November 2018

Tu peux essayer de résoudre $\frac{x}{1+\Vert x\Vert}=y$ avec $y\in D(0,1).$

Par ailleurs, $\Bbb{R}^2$ ne joue aucun rôle particulier. Tu prends un evn $X,$ sa boule unité ouverte $Y$ et tu as exactement le même résultat.

Maxtimax · November 2018

Si $y=\frac{x}{1+||x||}$ , alors $||y|| = \frac{||x||}{1+||x||}$ . Tu peux alors utiliser l'indication de Math Coss pour voir que $||x||$ est entièrement déterminée par $y$; puis utiliser le fait que $y$ est colinéaire à $x$ pour en déduire que $x$ est entièrement déterminé par $x$.

Krokop · November 2018

Tu as presque donné toute la solution Maxtimax...

geo · November 2018

Je suis b... c'était simple

Maxtimax · November 2018

Krokop : je n'avais pas vu ton message en écrivant le mien. Le problème dans cette situation est que si le message de Math Coss n'avait pas suffi, il y avait peut-être juste un blocage et je ne sais pas trop ce qui peut débloquer...

Math Coss · November 2018

Tiens, alors un exercice du même genre, enfin je me comprends.

Soient $A$ et $B$ deux matrices de même taille $n\times n$ à coefficients réels. Résoudre dans l'espace des matrices l'équation \[X+\mathrm{tr}(X)\,A=B.\]

Difféomorphisme

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 18