Mesure d'ouverts d'un groupe loc. compact
Depuis mon dernier fil de discussion sur les axiomes de séparation, j'ai un peu avancé dans mon PDF sur la mesure de Haar. Dans le théorème d'existence, qui est fait en 14 étapes, je bloque à un endroit. Je joins le PDF (qui est anglais) ici.
Mon souci est au niveau de l'étape 10 du théorème 4.3, donc, juste après qu'on ait défini l'application $\mu$ qui va devenir la mesure de Haar sur toutes les parties de $G$, au moment où l'on démontre que c'est une mesure extérieure.
Il affirme la chose suivante : Pour toute suite $(A_n)_n$ de parties de $G$, groupe topologique localement compact, pour tout élément $A_n$ de cette suite et tout $\epsilon > 0$, il existe un ouvert $U_n$ de $G$ tel que $A_n \subseteq U_n$ (donc tel que $\mu(A_n) \leqslant \mu(U_n)$ d'après une étape précédente de la même démonstration) et tel que $\mu(U_n) \leqslant \mu(A_n) + \displaystyle \frac{\epsilon}{2^n}$.
Donc en gros, il affirme que dans un GTLC $G$, pour notre future mesure, pour toute partie $A_n$ de $G$, il existe un ouvert $U_n$ de $G$ "à peine plus grand" que la partie en question. Je ne comprends pas pourquoi il ne prend pas la peine de justifier cette affirmation, qui pour moi n'a (pour l'instant) rien de trivial du tout. Construire des mesures sur des espaces topologiques, c'est assez nouveau pour moi et je ne vois pas quel résultat "suffisamment trivial" pour que l'auteur n'en parle même pas permet de garantir l'existence d'ouverts de n'importe quelle taille dans un GTLC mesuré (au moins pour la mesure de Haar qu'on essaie de construire).
Un peu d'aide serait la bienvenue.
EDIT : Je sais que je pose une question assez pointue (il faudra probablement que vous lisiez l'article au moins en diagonale pour pouvoir m'aider) alors j'ai pris une initiative et j'ai envoyé un mail à l'auteur de l'article. On va voir s'il me répond...
EDIT 2 : il ne risque pas de lire mon e-mail, j'ai trouvé qu'il était décédé en début d'année :-( :-( :-(
Mon souci est au niveau de l'étape 10 du théorème 4.3, donc, juste après qu'on ait défini l'application $\mu$ qui va devenir la mesure de Haar sur toutes les parties de $G$, au moment où l'on démontre que c'est une mesure extérieure.
Il affirme la chose suivante : Pour toute suite $(A_n)_n$ de parties de $G$, groupe topologique localement compact, pour tout élément $A_n$ de cette suite et tout $\epsilon > 0$, il existe un ouvert $U_n$ de $G$ tel que $A_n \subseteq U_n$ (donc tel que $\mu(A_n) \leqslant \mu(U_n)$ d'après une étape précédente de la même démonstration) et tel que $\mu(U_n) \leqslant \mu(A_n) + \displaystyle \frac{\epsilon}{2^n}$.
Donc en gros, il affirme que dans un GTLC $G$, pour notre future mesure, pour toute partie $A_n$ de $G$, il existe un ouvert $U_n$ de $G$ "à peine plus grand" que la partie en question. Je ne comprends pas pourquoi il ne prend pas la peine de justifier cette affirmation, qui pour moi n'a (pour l'instant) rien de trivial du tout. Construire des mesures sur des espaces topologiques, c'est assez nouveau pour moi et je ne vois pas quel résultat "suffisamment trivial" pour que l'auteur n'en parle même pas permet de garantir l'existence d'ouverts de n'importe quelle taille dans un GTLC mesuré (au moins pour la mesure de Haar qu'on essaie de construire).
Un peu d'aide serait la bienvenue.
EDIT : Je sais que je pose une question assez pointue (il faudra probablement que vous lisiez l'article au moins en diagonale pour pouvoir m'aider) alors j'ai pris une initiative et j'ai envoyé un mail à l'auteur de l'article. On va voir s'il me répond...
EDIT 2 : il ne risque pas de lire mon e-mail, j'ai trouvé qu'il était décédé en début d'année :-( :-( :-(
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Réponses
EDIT : Hé miiiince ! Bien joué, Poirot.
Merci à vous deux. Bon, ben ça c'est réglé !
Dans le théorème 4.6, à l'étape 5, je bloque. On a une série d'égalités et l'auteur affirme qu'il faut utiliser une sorte de théorème de Fubini généralisé (que j'admets pour l'instant) et le lemme 4.5.
Je reprécise juste que les deux mesures $\mu$ et $\mu'$ dans l'étape 5 sont des mesures de Haar à gauche. $h$ est une fonction continue et à support compact.
Mon souci est au niveau de la première chaîne d'égalités de cette étape 5.
$\displaystyle \int_G \bigg[ \int_G h(x,y) d \mu '(y) \bigg] d \mu (x) = \int_G \bigg[ \int_G h(x,y) d \mu (x) \bigg] d \mu '(y)$ : on applique le Fubini généralisé.
$\displaystyle \int_G \bigg[ \int_G h(x,y) d \mu (x) \bigg] d \mu '(y) = \int_G \bigg[ \int_G h(y^{-1} x,y) d \mu (x) \bigg] d \mu '(y)$ : lemme 4.5 avec $f : x \longmapsto h(x,y)$ qu'on translate selon $x$ par $y^{-1}$.
$\displaystyle \int_G \bigg[ \int_G h(y^{-1} x,y) d \mu (x) \bigg] d \mu '(y) = \int_G \bigg[ \int_G h(y^{-1} x,y) d \mu '(y) \bigg] d \mu (x)$ : encore un coup de Fubini.
Jusque-là, j'arrive à suivre le raisonnement de l'auteur. Par contre, la dernière égalité :
$\displaystyle \int_G \bigg[ \int_G h(y^{-1} x,y) d \mu '(y) \bigg] d \mu (x) = \int_G \bigg[ \int_G h(y^{-1}, xy) d \mu '(y) \bigg] d \mu (x)$
Qu'est-ce que quoi ? Il dit qu'il faut utiliser le lemme 4.5 à répétition, mais je ne comprends juste pas comment il fait. Même en utilisant le Fubini, je ne vois pas. Et vu qu'on utilise ce résultat après (dans la deuxième chaîne d'égalités de l'étape 5), ça ne peut pas être une faute de frappe ou quelque chose comme ça.
Comme dit, les mesures $\mu$ et $\mu '$ sont invariantes par translations à gauche. Donc on pourrait passer de $h(y^{-1} x,y)$ à $h(y^{-1} x,xy)$ sans problème, mais comment on fait pour passer de $y^{-1} x$ à $y^{-1}$ dans la première coordonnée ? J'ai un peu de mal à voir quelle fonction (de $x$ !) et quelle translation il faut utiliser pour obtenir cette égalité avec le lemme 4.5.
On part de : $\displaystyle \int_G \bigg[ \int_G h(y^{-1} x,y) d \mu '(y) \bigg] d \mu (x)$.
On pose $y' = x^{-1} y$, donc $y = x y'$ et $y^{-1} x = y'^{-1}$. Donc notre intégrale est égale à :
$\displaystyle \int_G \bigg[ \int_G h(y'^{-1},xy') d \mu '(x y') \bigg] d \mu (x)$.
Ensuite, on utilise le fait que $\mu '$ est invariante par translations à gauche pour obtenir $d \mu ' (x y') = d \mu ' (y')$, c'est bien ça ? Je sais que $\mu ' (x y') = \mu ' (y')$ mais avec le $d$ devant, je reste frileux... j'ai toujours eu du mal avec ces notations $d \mu$. Ils n'expliquent jamais comment un $d \mu$ fonctionne dans les bouquins.
En particulier, la notation $d\mu'(xy')$ est un abus pour souligner ce "changement de variables". Et l'écriture $$\mu ' (x y') = \mu ' (y')$$ n'a pas de sens, $\mu'$ étant une mesure sur les boréliens de ton groupe topologique...
Quand on intègre contre une mesure $\sigma$, on note souvent $d\sigma(u)$ pour souligner que la variable d'intégration est bien $u$. Si c'est clair, la notation $d\sigma$ est parfaitement légitime, de sorte que le lemme 4.5 se réécrit sous les bonnes hypothèses $$\int f(xy) d\mu' = \int f(y) d\mu',$$ $x$ étant fixé.
Soit $(G, \star)$ un groupe topologique, $\mu$ une mesure de Haar (à gauche) sur $G$, $f : G \longrightarrow \mathbb{R}$ une fonction $\mu$-intégrable. Pour tout $x \in G$, si on note $\tau_x$ la fonction $G \longrightarrow G$, $u \longmapsto x \star u$, le lemme 4.5 dit la chose suivante :
$\displaystyle \int_G f d \mu = \int_G (f \circ \tau_x) d \mu$
Je fais exprès d'omettre les variables.
Du coup, si je réécris l'intégrale $\displaystyle \int_G \bigg[ \int_G h(y^{-1} x, y) d\mu'(y) \bigg] d\mu(x)$, c'est celle-là :
$\displaystyle \int_{G \times G} f d(\mu \otimes \mu')$, avec $f : (x,y) \longmapsto h(y^{-1}x,y)$. Je pars du principe que $\mu \otimes \mu'$ est bien une mesure de Haar sur $G \times G$.
Du coup, il faut appliquer le lemme 4.5 avec le groupe produit $G \times G$, la mesure $\mu \otimes \mu'$, la fonction $f$ que je viens de décrire, et il faut trouver la bonne fonction de translation $\tau_{u,u'}$.
On veut que que $f \circ \tau_{u,u'} (x,y) = h(y^{-1}, xy) = f(x,xy)$, et comme $f \circ \tau_{u,u'} (x,y) = f(ux, u'y)$ il faut choisir $(u,u') = (e_G,x)$.
Adjugé vendu ?