Topologie des fermés

Il suffit de passer au complémentaire dans la définition d'une topologie pour définir une topologie à partir de ses espaces fermés : la famille (de fermés ) doit contenir le vide et l'ensemble tout entier et être stable par union finie et intersection quelconque. Rien de méchant.

Pour les voisinages, il suffit de se rappeler qu'un voisinage de $a\in X$ est un sous-ensemble contenant un ouvert qui contient $a$ (lorsque la topologie est donnée par les ouverts).

Pour définir une topologie à partir de l'ensemble des voisinages, on recopie les propriétés naturelles que doivent avoir les voisinages : pour tout $a\in X$, on se donne une famille $\nu(a)$ de parties de $X$, appelées voisinages de $a$ tel que :

tout voisinage de $a$ contient $a$

si $V$ est un voisinage de $a$ et $W\supset V$, alors $W$ est un voisinage de $a$

$X$ est un voisinage de $a$

l'intersection de deux voisinages de $a$ est un voisinage de $a$

pour tout voisinage $V$ de $a$, il existe un voisinage $W$ de $a$ tel que $V$ soit un voisinage de chaque point de $W$.

Ce dernier axiome demande un peu plus de réflexion. En gros, cela revient à demander qu'un voisinage de $a$ contienne un ouvert contenant $a$ (essaye de traduire ça en termes de boules).

Si $T$ est une topologie définie par des ouverts, on définit un voisinage de $a$ comme étant un ensemble contenant un ouvert qui contient $a$. On vérifie que la famille obtenue satisfait les axiomes précédents.

Inversement si $T$ est une topologie définie par des voisinages, on définit un ouvert comme étant un ensemble qui est un voisinage de chacun de ses points (autrement dit, pour tout $a\in U$, $U\in \nu(a)$.

On montre que les deux constructions sont inverses l'une de l'autre.

De quels axiomes parles-tu ? Est-ce que tu as compris au moins que se donner les fermés ou les ouverts, c'est pareil ?
Le cas des voisinages est plus subtil.

Oui. C'est simplement le passage au complémentaire. Non ?

Je repose ma question : as-tu bien compris que se donner les fermés ou les ouverts, c'est pareil ? Si tu connais les ouverts, tu sais trouver les fermés, et si tu connais les fermés, tu sais trouver les ouverts ?

PS. Evite les approximations en maths: on ne "démontre" pas une topologie, et on ne parle pas "d'éléments" fermés.

A priori non. Pourquoi voudrais-tu qu'elle le soit....C'est déjà faux pour la topologie usuelle sur $\mathbb{R}$.

Ben tu n'as qu'à relire mes messages et y réfléchir calmement avec un papier et un crayon. ça ne sert à rien que je te réponde si tu ne prends pas le temps de comprendre.

Tu peux méditer cet exemple: l'intervalle $[0,1]$ est fermé dans $\mathbb{R}$. Penses-tu qu'il soit ouvert ?

En fait, je ne suis pas bien certaine de comprendre ta question, je crois.

En complément, si $E$ est un ensemble, Une topologie $T$ sur $E$ est un $T\subset \mathcal P(E)$, qui vérifie les axiomes des ouverts. Et $(E, T)$ est un espace topologique.
Autrement dit, une topologie sur E est l'ensemble des ouverts. Qu'on peut définir immédiatement si on a l'ensemble des fermés (par complémentation), ou de façon moins évidente si on a les voisinages.. mais n'importe comment, quand on a l'un des trois (ouverts, fermés ou voisinages), on a les deux autres.

Cordialement.