Théorème de point fixe pour les compacts

Pour le a), plus simplement si $x,y$ sont deux points fixes alors $d(x,y) = d(f(x),f(y))$ ce qui est contraire à l'hypothèse non ?

Pas d'idée pour le b) pour le moment ...

Une idée : la propriété vrai pour les applications $k$-liptschitzienne avec $k < 1$, on peut utiliser la convergence de la série géométrique.

Maintenant, comme $X$ est compact je pense que $k = \sup \{\delta \in [0,1] : \exists (x,y) : d(f(x),f(y) = \delta d(x,y) \}$ doit être strictement plus petit que $1$. Si c'est vrai tu peux conclure l'exo en te ramenant au cas d'une fonction $k$-Lipschitz.

Attention à ton argument pour l'unicité : le minimum est unique mais le point en lequel il est atteint ne l'est nécessairement a priori.

Pour la b) , tu as montré que la suite d(xn,a) converge donc elle admet une unique valeur d'adhérence.
Considères maintenant une sous-suite de (xn) qui converge.
Elle converge nécessairement vers a (pourquoi ?). Donc si (un) désigne cette suite, (d(un,a)) converge vers 0 donc l'unique valeur d'adhérence de (d(xn,a)) est 0.

En fait tu es bien parti mais tu n'as pas exploité la compacité de "X dans la question b)

Il faut remarquer plusieurs choses :
1) l'ensemble des valeurs d'adhérence de $x$ (que je vais noter $\mbox{Adh}(x)$) est stable par $f.$
2) l'unique point fixe $a$ de $f$ appartient à $\mbox{Adh}(x).$

Ensuite, il suffit de prendre une sous-suite de $x$ qui converge vers $a$ et de procéder par encadrement,
pour en déduire que la suite $x$ n'a qu'une seule valeur d'adhérence (ce qui implique la convergence de $x$ vu que $x$ vit dans le compact $X$).

Voilà une correction esquissée :

*On remarque d'abord que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite $x$ est stable par $f$ (il suffit d'extraire deux suites en cascade puis d'utiliser la continuité de $f$ pour conclure).

**Supposons que $a$ ne soit pas une valeur d'adhérence de $x.$ Comme $\mbox{Adh}(x)$ est fermé dans un compact alors, il s'agit d'un compact et ainsi, il existe $\mu_{0}\in \mbox{Adh(x)}$ tel que $\displaystyle d(\mu_{0},a)=\min_{\mu \in \mbox{Adh}(x)}d(\mu,a)>0.$
Mais alors, comme $\mu_{0}\neq a$, on a $=d(f(\mu_{0}),a)=d(f(\mu_{0}),f(a))<f(\mu_{0},a),$ une contradiction car l'ensemble des valeurs d'adhérence de $x$ est stable par $f.$

Ainsi, il existe une extraction $(\phi_{n})$ tel que $(x_{\phi_{n}})$ converge vers $a.$

***Soit $\mu$ une valeur d'adhérence de $x,$ il existe alors une extraction $(\psi_{n})$ tel que $(x_{\psi_{n}})$ converge vers $\mu.$ Pour tout $n$ appartenant à $\mathbb{N},$ il existe $k$ tel que $\phi_{k} \leq \psi_{n} \leq \phi_{k+1}.$

Ainsi, dans tous les cas (que $x_{j}\neq a$ ou non), on a $d(x_{\phi_{k+1}},a)\leq d(x_{\psi_{n}},a)\leq d(x_{\phi_{k}},a)$ d'où l'on tire (en passant à la limite) que $\mu=a.$

****Le fait que la suite $x$ ait une unique valeur d'adhérence et que ses éléments appartiennent à un compact fixé permet de conclure que $x$ converge vers $a.$

J'ai évoqué ce fil dans un fil dédié de L et F, mais ma possibilité d'écrire en topologie a été rouverte depuis. De toute façon, en dehors d'un "tag ANS", je n'avais rien dit de plus que ce qui a été dit, en insistant sur un point, je crois, relevé par alea que l'ensemble $A$ des valeurs d'adhérence de $u$ est deux choses importantes:

1/ fermé, donc compact
2/ vérifie $A\subset ImageDirecteDePar(A,f)$

très courtes çà rédiger et donnant la conclusion.

@pea, si ta preuve parait simple, elle est en fait accessible à des gens qui de toute façon ne poseraient jamais la question sur un forum car ils la résoudraient seuls probablement rapidement, ceci étant dû à l'exigence de rédaction très poussée qui vient compenser le fait que tu sois descendu à un niveau plus élémentaire en termes des échelons scolaires.

Par exemple, essaie d'imaginer ce que ça donne une fois remplacé "par une récurrence immédiate" par le contenu formel. C'est une affaire d'époque bien sûr, c'est à dire que les gens plus âgés ayant fait des mpsi il y a longtemps adhéreront à fond à ta version.

Je ne sais pas ce qu'il en est pour le mpsi moyen actuel français, mais j'ai l'impression qu'il n'atteint plus ce niveau de précision (je me trompe peut-être).