Partie fermée

Bonjour,
l'exercice dit

Soit $A$ une partie compacte et $B$ une partie fermée de $\mathbb{R}$. On pose $C=A+B=\{a+b\mid a \in A,\ b \in B \}.$
Montrer que $C$ est un fermé.

La correction du prof est
Il suffit de montrer que $\bar{C} \subset C$.
Soit $c \in \bar{C}$, il existe une suite $(x_n)_n$ d'éléments de $C$ telle que $x_n$ converge vers $c$.
$\exists a_n \in A ,\ \exists b_n \in B , \ c_n=a_n+b_n$.
Donc il existe $\phi$ injective croissante de $\mathbb{N}$ vers $\mathbb{N}$ telle que $a_{\phi_n}$ converge vers $a$.
$c_{\phi_n}=a_{\phi_n}+b_{\phi_n} \Longrightarrow b_{\phi_n}=c_{\phi_n}-a_{\phi_n}$
on a : $b_{\phi_n}$ converge vers $b \in B$ car $B$ est fermé
$c=a+b \in C$ (c'est le point que je n'ai pas compris)
d'où le résultat.

P.S. Je n'ai pas compris comment il a conclu que $c \in C$ sans qu'on ait $a \in A$.

[En $\LaTeX$, c'est toute l'expression mathématique que l'on encadre par des $\$$, pas seulement quelques termes. AD]