Normes équivalentes

Salut,

pour illustrer ce que dit Poirot sur la non-équivalence des normes sur $\mathbb{Q}$, un exemple :

Soit le $\mathbb{Q}$-espace vectoriel de dimension deux $\mathbb{Q} \left [ \sqrt{2} \right ]= \left \{ a+b \sqrt{2} \, ; \, (a,b) \in \mathbb{Q}^2 \right \}$.
On munit $\mathbb{Q} \left [ \sqrt{2} \right ]$ des deux normes $N_1$ et $N_2$ définies par :
pour tout $a+b \sqrt{2} \in \mathbb{Q} \left [ \sqrt{2} \right ]$, $N_1 \left ( a+b \sqrt{2} \right )= \left | a+b \sqrt{2} \right |$ et $N_2 \left ( a+b \sqrt{2} \right ) = \left | a \right | + \left | b \right |$.
Alors la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = \left ( 1- \sqrt{2} \right ) ^n \in \mathbb{Q}\left [ \sqrt{2} \right ]$ est convergente vers $0$ pour la norme $N_1$ mais pas pour la norme $N_2$. Ces deux normes ne sont donc pas équivalentes.

Pour donner un sens à tout ça, il te faut dire ce que tu entends, pour $K$ corps, ce que signifie "norme sur le $K$-espace vectoriel sur $K$, car avec le mot norme il y a une condition qui s'écrit :

$$ N(xu) = |x|\times N(u)$$

Mais qu'appelles-tu $x\mapsto |x|$ pour $K$?

Après tu auras déjà les idées un peu moins floues.