Salut
Théorème.
Deux normes quelconques sur Kn sont équivalentes, avec K un corps.
Toutes les normes d'un k-espace vectoriel de dimension finie sont équivalentes.
Je n'ai pas compris le théorème en plus je n'ai pas une démonstration.
Pouvez-vous m'aider ?
Réponses
Pour la démonstration, la clé est de monter la compacité de la boule unité fermée de $K^n$, pour la topologie définie par la norme infinie, qui découle de la compacité de $[0, 1]$ dans $\mathbb R$. Cherche sur Google tu trouveras à peu près 2000 cours contenant la démonstration.
pour illustrer ce que dit Poirot sur la non-équivalence des normes sur $\mathbb{Q}$, un exemple :
Soit le $\mathbb{Q}$-espace vectoriel de dimension deux $\mathbb{Q} \left [ \sqrt{2} \right ]= \left \{ a+b \sqrt{2} \, ; \, (a,b) \in \mathbb{Q}^2 \right \}$.
On munit $\mathbb{Q} \left [ \sqrt{2} \right ]$ des deux normes $N_1$ et $N_2$ définies par :
pour tout $a+b \sqrt{2} \in \mathbb{Q} \left [ \sqrt{2} \right ]$, $N_1 \left ( a+b \sqrt{2} \right )= \left | a+b \sqrt{2} \right |$ et $N_2 \left ( a+b \sqrt{2} \right ) = \left | a \right | + \left | b \right |$.
Alors la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = \left ( 1- \sqrt{2} \right ) ^n \in \mathbb{Q}\left [ \sqrt{2} \right ]$ est convergente vers $0$ pour la norme $N_1$ mais pas pour la norme $N_2$. Ces deux normes ne sont donc pas équivalentes.
$$ N(xu) = |x|\times N(u)$$
Mais qu'appelles-tu $x\mapsto |x|$ pour $K$?
Après tu auras déjà les idées un peu moins floues.