Locale connexité
Salut,
Un espace topologique est par définition localement connexe si chacun de ses points admet un système fondamental de voisinages connexes.
Le livre dit ensuite que tout intervalle de $\mathbf R$ est localement connexe. Est-ce vrai ? Je n'arrive pas à le voir. Je sais que les connexes de $\mathbf R$ sont exactement ses intervalles.
Un espace topologique est par définition localement connexe si chacun de ses points admet un système fondamental de voisinages connexes.
Le livre dit ensuite que tout intervalle de $\mathbf R$ est localement connexe. Est-ce vrai ? Je n'arrive pas à le voir. Je sais que les connexes de $\mathbf R$ sont exactement ses intervalles.
Réponses
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Un intervalle de $\mathbb R$ est même connexe par arcs ! (Peux-tu rappeler la définition d'intervalle ?)
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Pardon j'ai écrit une coquille, j'édite, c'est la locale connexité de l'intervalle que je ne comprends pas.
$I\subset\mathbf R$ est un intervalle si : $\forall (x,y)\in I^2, \forall z\in\mathbf R, x\leq z\leq y\implies z\in I$ -
Dans un intervalle, tout point n'a-t-il pas un système fondamental de voisinages formé d'intervalles ?
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Comme j'ai l'impression que l'expression "système fondamental de voisinages bleus" est revenue plusieurs fois, je pense utile de dire ce que ça abrège:
<< système fondamental de voisinages bleus de a>> abrège <<ensemble $X$ de voisinages bleus de $a$ tel que pour tout ouvert $U$ qui contient $a$, il existe $V\in X$ tel que $V\subseteq U$>>.
Sauf erreur de ma part évidemment, car moi-même, je n'utilise jamais ce genre d'expression rigide qu'il me semble nécessaire de conseiller de déplier dans les preuves.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
GaBuZoMeu : excuse ma curiosité mais je ne saisis pas ta remarque sur la connexité par arcs des intervalles de $\mathbb{R}$.
Je veux dire par là : les intervalles de $\mathbb{R}$ sont connexes par arcs, je le sais bien, mais j'imagine que tu signales ceci dans un certain but ici. Et je ne vois pas lequel vu que la connexité par arcs n'implique pas la locale connexité, si je ne m'abuse.
(si la réponse à cette question empêche le raisonnement auquel tu veux amener l'auteur de ce fil, pas de souci, ma curiosité n'est pas si intense). -
Michael, as-tu remarqué que la première question a été modifiée bien après ma première réponse ? C'est ma deuxième réponse qui correspond à la question modifiée.
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Ah non, je n'avais pas vu (je n'avais pas fait attention que l'auteur du fil avait lui-même signalé cette correction de coquille, ça m'apprendra à lire les fils en diagonale). Pardon pour le dérangement ;-)
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Je ne trouve pas. Soit $I$ un intervalle de $\mathbf R$ et $x$ un point de $I$.
Si $I$ est ouvert alors l'ensemble des intervalles ouverts contenus dans $I$ et contenant $x$ est un système fondamental de voisinages connexes de $x$. Mais lorsque $I$ est quelconque, je ne vois pas. -
Que $I$ soit ouvert ou non!
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Ce que je veux dire, c’est que tout réel $x$ est contenu dans un intervalle ouvert!
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Mais pas forcément contenu dans $I$, par exemple si $I$ est un singleton.
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Soit $x$ un réel d’un intervalle. Il est contenu dans un intervalle ouvert que tu peux appeler $I$ si tu veux. Dans $I$, on a une base de vosinages de $x$. En effet, $I$ contient un voisinage de $x$, qui contient lui-même un intervalle ouvert contenant $x$. Par conséquent, l’ensemble des intervalles ouverts de $I$ contenant $x$ est bien une base de voisinage.
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Ah je crois avoir compris ce qui te dérange! Un singleton est connexe!!!
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Le fait que tu aies appelé $I$ le nouvel intervalle ouvert construit embrouille avec mon $I$ intervalle de départ. Toutefois, j'ai du mal à voir où on utilise le fait que $I$ (intervalle de départ pas forcément ouvert) est un intervalle.
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Je reprends;
« Un espace topologique est par définition localement connexe si chacun de ses points admet un système fondamental de voisinages connexes. »
Un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ est un espace topologique pour la topologie induite. Soit $x$ un point de $I$. Encore une fois, il est contenu dans un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$, soit $J$ cet intervalle ouvert. Par conséquent $J\cap I$ est un ouvert de $I$ contenant $x$. C’est sur ce $J\cap I$ qui est bien un intervalle ouvert pour la topologie induite que tu raisonnes. -
C'est bon, merci, tout est clair.
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J'ai une autre question.
On a l'équivalence : $(E$ localement connexe ) $\iff ($Tout ouvert de $E$ a ses composantes connexes ouvertes).
Est-ce que cette équivalence est encore vraie quand on ajoute "par arcs" des deux côtés ? Selon moi oui mais je ne vois pas cette propriété dans mon cours. -
La connexité locale par arcs implique la connexité locale. L’expression « composante connexe » a un sens bien défini, donc c’est quoi « ajouter par arc des deux côtés »?
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C'est ça :
$(E$ localement connexe par arcs ) $\iff ($Tout ouvert de $E$ a ses composantes connexes par arcs ouvertes). -
Ah ok, oui c’est aussi vrai.
Dans un sens cela découle du fait que la locale connexité par arcs implique la locale connexité. Pour la conditon suffisante, que penses-tu des ouverts connexes par arcs? -
C'est bon pour la démonstration, merci :-)
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