Topologie sur $\overline{\mathbb{R}}$
On définit sur $\overline{\mathbb{R}}$ une topologie de la manière suivante.
Un sous-ensemble $U$ de $\overline{\mathbb{R}}$ est un ouvert, si on peut l'écrire sous la forme $$U=[-\infty,a[\,\cup\, ]b,+\infty] \cup O,$$
avec $O$, un ouvert de $\mathbb{R}$ muni de sa topologie usuelle.
Montrer que cette famille d'ouverts définit une topologie ??
Un sous-ensemble $U$ de $\overline{\mathbb{R}}$ est un ouvert, si on peut l'écrire sous la forme $$U=[-\infty,a[\,\cup\, ]b,+\infty] \cup O,$$
avec $O$, un ouvert de $\mathbb{R}$ muni de sa topologie usuelle.
Montrer que cette famille d'ouverts définit une topologie ??
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Réponses
1- stabilité par réunion quelconque
2- stabilité par intersection finie
3- $\varnothing$ et $\overline{\mathbb{R}}$ sont des ouverts,
Je trouve une difficulté dans 2- ?? Si vous avez une idée ?
Et merci d'avance :-)
Bon travail !
gerard0
Même si je n'arrive pas au résultat, si vous avez une indication, s'il vous plaît !
$U_1=[-\infty,a_1[\cup]b_1,+\infty]\cup O_1$ et $U_2=[-\infty,a_2[\cup]b_2,+\infty]\cup O_2$ où $O_1$ et $O_2$ sont des ouverts de $\mathbb{R}$, on a :
$$U_1\cap U_2 =([-\infty,a_1[\cup]b_1,+\infty]\cup O_1)\cap([-\infty,a_2[\cup]b_2,+\infty]\cup O_2)$$
quoi encore ?
donc on a :
$[-\infty,a_1[\cap [-\infty,a_2[=[-\infty,\inf(a_1,a_2)[$
$]b_1,+\infty]\cap ]b_2,+\infty] = ]\sup(b_1,b_2),+\infty]$
pour
$[-\infty,a_1[\cap O_2$, $]b_1,+\infty]\cap O_2$,$O_1\cap [-\infty,a_2[$, $O_1\cap ]b_2,+\infty]$ et $O_1\cap O_2$ sont des ouverts de $\mathbb{R}$, comme étant des traces.
pour
$[-\infty,a_1[\cap ]b_2,+\infty]$ et $]b_1,+\infty]\cap [-\infty,a_2[$ qu'est ce qu'on peut dire ?
Autrement dit : différencie chacun de ces cas et vois ce qu'il en est pour les ensembles considérés.