Partie compacte

naforito · November 2018

Bonjour
Je n'arrive pas à comprendre une partie de la démonstration.

Proposition.
Soit E un espace topologique compact et F un espace topologique séparé et f : E-->F une application continue alors f(E) est une partie compacte de F.

Démonstration.
P(E) est séparé pour la topologie induite de F puisque F est séparé. On se donne un recouvrement de f(E) par des ouverts $(O_i)_i$ les ouverts $(f^{-1}(O_i))_i$ constituent un recouvrement de E qui est compact. On peut extraire un sous-recouvrement fini qui induira un sous-recouvrement fini de f(A)

P.S. Je n'ai pas compris comment il a conclu qu'on peut extraire un sous-recouvrement fini de f(A).

gerard0 · November 2018

Bonjour.

C'est quoi ce A ?
En remplaçant A par E, et utilisant $X\subset f(f^{-1}(X))$ (*), on voit que les images par f des éléments du sous-recouvrement de E recouvrent f(E).

Au besoin, fais un dessin, et rédige les preuves de ce qui ne te semble pas évident (en mettant des noms aux objets nouveaux).

Cordialement.

(*) propriété que tu dois démontrer si tu ne la trouves pas évidente

christophe c · November 2018

J'ai l'impression que tu n'as surtout pas compris l'expression "qui induira" et qu'elle t'a intimidé (Et Gérard t'a aussi signalé plusieurs fautes de frappe). Le mot "induire" est bien souvent voulu par son auteur comme signifiant que c'est évident donc qu'il ne détaillera pas, rien de plus

Si $R$ recouvre $f(E)$, alors $\{X\subset E\mid \exists Y\in R: X=f^{-1}(Y)\}$ recouvre $E$, il a donc une partie finie $W$ qui recouvre $E$.

Qu'est-ce que tu peux faire de trivial à partir de $W$?

Partie compacte

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