La notion intuitive de la compacité

Bonjour.

La notion de compact est une sorte de généralisation de certaines propriétés des intervalles fermés bornés de $\mathbb R$ pour la topologie habituelle. mais comme c'est une large généralisation, en vouloir une "approche intuitive" s'arrête là. On se fait une intuition sur les compacts en manipulant la définition et les propriétés. De plus, la notion de compact est très liée à la topologie utilisée. Dans la topologie grossière, toute partie est compacte; dans la topologie discrète sur $\mathbb R$, [0;1] n'est pas compact. Donc prends le temps de fréquenter la notion.

Cordialement.

On peut aussi lire dans certains cours que les espaces compacts peuvent être vus comme des espaces "topologiquement finis" car les propriétés des applications continues sur de tels espaces sont en pratique comparables à celles des applications définies sur un ensemble fini.

Même si l'on parle ici de compréhension intuitive et donc de quasi-compacité (rappel : compact = quasi-compact et séparé), sauf erreur :
- un espace grossier est toujours quasi-compact
- un espace grossier est séparé uniquement s'il possède 0 ou 1 point
- donc un espace grossier possédant au moins deux points n'est jamais compact

@Anas, la compacité exprime juste que "tous les infinis de l'espace font partie de l'espace". Par exemple, pour les habitants de $\Q$, le nombre $\sqrt{2}$ est "un infini" à sa manière et ne fait pas partie de l'espace.

$\R$ barre, c'est à dire $[-\infty, +\infty]$ est compact.

L'espace des droites qui passent par l'origine est compact et donne une image naturelle de ce qu'on obtient quand on "rend égaux" $+\infty$ et $-\infty$, par exemple.

Je te réponds de mon téléphone ça va être un peu chaud. Soit (E,T) un espace topologique séparé.

<<X est une conquête de E>> abrége << X est inclus dans T et pour tous U,V dans X: U union V est dans X et de plus (il existe W dans X tel que U strictement inclus dans W)>>


Intuitivement une conquête part à la conquête d'un élément en contenant des ouverts de plus en en plus grands dont elle s'est assurée qu'elle y trouvera pas l'objet de ses rêves. Autrement dit elle poursuit une sorte d'infini à elle.

Et bien un espace est compact ssi aucune conquête n'est telle que sa réunion contient E tout entier. Autrement dit "l'infini de son goût à elle" est bien présent quelque part dans E.