Question sur la compacité locale

Pour prolonger la discussion (même si ça ne répond pas totalement à ta question) sur la compacité locale et l'idée de virer un point à un espace localement compact.

Propriété : soit $E$ un espace topologique localement compact et $A$ une partie de $E$.
Si $A$ est ouverte ou fermée alors l'espace $A$ est localement compact.

Preuve :
Déjà, comme $E$ est séparé, $A$ l'est aussi.

Si $A = \emptyset$, c'est clair.

Sinon, soit $x \in A$, comme $E$ est localement compact, il existe $K \in \mathcal{P}(E)$ tel que $K$ est un voisinage compact de $x$.

Si $A$ est fermée alors $A \cap K$ est un fermé du compact $K$, c'est donc aussi un compact. Et $A \cap K$ est un voisinage de $x$ inclus dans $A$ (puisque $K$ est un voisinage de $x$), d'où le résultat lorsque $A$ est fermée.

Si $A$ est ouverte alors $A$ est un voisinage de $x$ donc $A \cap K$ est un voisinage de $x$. Comme $E$ est localement compact, il existe une partie compacte $C$ de $E$ telle que $C$ est un voisinage de $x$ et $C \subset A \cap K$ donc $C = C \cap A$ est un voisinage compact de $x$ inclus dans $A$.



Une conséquence de ce résultat : si $E$ est un espace compact non vide et si $\omega \in E$ alors $F = E \setminus \{ \omega \}$ est localement compact (en effet $\{ \omega \}$ est un fermé de $E$ puisque $E$ est séparé et donc $F$ est un ouvert de $E$ en tant que complémentaire d'un fermé).

C'est bizarre, ce que tu retranscris est aussi ce que je comprends de la citation. Pourtant mon exemple a l'air correct..