Question sur la compacité locale
En lisant le livre de Hocking&Young (Topology) je tombe sur une affirmation que je n'arrive pas à prouver.
Ils affirment qu'un espace peut être localement connexe en tout point sauf un (et invoque l'exemple du graphe de la fonction $x \mapsto \sin \frac 1 x$ pour $x \ne 0$ union le point $(0,0)$) mais qu'en revanche un espace (séparé) ne peut être localement compact en tout point à l'exception d'un seul.
Quelqu'un pourrait-il me donner une preuve de cette dernière partie de l'affirmation (la partie en gras) ?
Ils affirment qu'un espace peut être localement connexe en tout point sauf un (et invoque l'exemple du graphe de la fonction $x \mapsto \sin \frac 1 x$ pour $x \ne 0$ union le point $(0,0)$) mais qu'en revanche un espace (séparé) ne peut être localement compact en tout point à l'exception d'un seul.
Quelqu'un pourrait-il me donner une preuve de cette dernière partie de l'affirmation (la partie en gras) ?
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Réponses
Je note $\overline{D}$ son adhérence dans $\R^2$
$D$ est très clairement localement compact. Pourtant un voisinage de $(1,0)$ ne peut pas être compact. L'affirmation est donc fausse.
(pour voir pourquoi un tel voisinage ne peut pas être compact, un tel voisinage contient l'intersection d'une boule ouverte centrée en $(1,0)$ avec $X$, et une telle intersection contient une suite qui tend vers le bord dans $\R^2$, dont on ne peut donc pas extraire de sous-suite convergente; or ici tout est à base dénombrable donc compacité implique compacité séquentielle)
Propriété : soit $E$ un espace topologique localement compact et $A$ une partie de $E$.
Si $A$ est ouverte ou fermée alors l'espace $A$ est localement compact.
Preuve :
Déjà, comme $E$ est séparé, $A$ l'est aussi.
Si $A = \emptyset$, c'est clair.
Sinon, soit $x \in A$, comme $E$ est localement compact, il existe $K \in \mathcal{P}(E)$ tel que $K$ est un voisinage compact de $x$.
Si $A$ est fermée alors $A \cap K$ est un fermé du compact $K$, c'est donc aussi un compact. Et $A \cap K$ est un voisinage de $x$ inclus dans $A$ (puisque $K$ est un voisinage de $x$), d'où le résultat lorsque $A$ est fermée.
Si $A$ est ouverte alors $A$ est un voisinage de $x$ donc $A \cap K$ est un voisinage de $x$. Comme $E$ est localement compact, il existe une partie compacte $C$ de $E$ telle que $C$ est un voisinage de $x$ et $C \subset A \cap K$ donc $C = C \cap A$ est un voisinage compact de $x$ inclus dans $A$.
Une conséquence de ce résultat : si $E$ est un espace compact non vide et si $\omega \in E$ alors $F = E \setminus \{ \omega \}$ est localement compact (en effet $\{ \omega \}$ est un fermé de $E$ puisque $E$ est séparé et donc $F$ est un ouvert de $E$ en tant que complémentaire d'un fermé).
@Maxtimax
Ok c'est clair, merci pour la rectification!
Je retranscris le texte du livre (Edition Dover p 105), peut-être ai-je mal compris? (Vu mon anglais...)
"The space $S$ is locally connected if it is locally connected et each point. A few words about this property are in order before the precise study begins. First, a space may be locally connected at all but one point. (This is in contradistinction to local compactness.) "