Intervalles ouverts
Bonjour,
je dois montrer que tout point $x$ d'un intervalle ouvert $I$ est centre d'un intervalle $I_x$ inclus dans $I$
Je considère $I=]a,b[$ et je prends $x\in ]a,b[$, le but est de chercher un rayon $\varepsilon>0$ de sorte que $I_x=\,]x-\varepsilon, x+\varepsilon[\,\subset\, ]a,b[$.
C'est dire $\begin{cases} x-\varepsilon &\geq a\\ x+\varepsilon&\leq b\end{cases}$ , ces deux inégalités donnent que $\varepsilon\leq \inf\{x-a, b-x\}$
Comment vérifier l'inclusion : $]x-\varepsilon, x+\varepsilon[\,\subset\, ]a,b[$ ?
Si je considère $\frac{a+b}{2}\leq x\leq b$ , dans ce cas $\varepsilon=x-\frac{a+b}{2}$
Soit $z\in\,]x-\varepsilon, x+\varepsilon[$ alors $ \frac{a+b}{2}<z< 2x-\frac{a+b}{2}$
je n'arrive pa voir que $2x-\frac{a+b}{2}<b$.
Merci de m'aider.
je dois montrer que tout point $x$ d'un intervalle ouvert $I$ est centre d'un intervalle $I_x$ inclus dans $I$
Je considère $I=]a,b[$ et je prends $x\in ]a,b[$, le but est de chercher un rayon $\varepsilon>0$ de sorte que $I_x=\,]x-\varepsilon, x+\varepsilon[\,\subset\, ]a,b[$.
C'est dire $\begin{cases} x-\varepsilon &\geq a\\ x+\varepsilon&\leq b\end{cases}$ , ces deux inégalités donnent que $\varepsilon\leq \inf\{x-a, b-x\}$
Comment vérifier l'inclusion : $]x-\varepsilon, x+\varepsilon[\,\subset\, ]a,b[$ ?
Si je considère $\frac{a+b}{2}\leq x\leq b$ , dans ce cas $\varepsilon=x-\frac{a+b}{2}$
Soit $z\in\,]x-\varepsilon, x+\varepsilon[$ alors $ \frac{a+b}{2}<z< 2x-\frac{a+b}{2}$
je n'arrive pa voir que $2x-\frac{a+b}{2}<b$.
Merci de m'aider.
Réponses
-
Ton inclusion d'intervalles ouverts ne signifie-t-elle pas
$$\forall y\ (x-\epsilon <y<x+\epsilon \Rightarrow a<y<b)\quad {?}$$ -
oui, mais je n'arrive pas a le démontrer
-
C'est juste du maniement ultra-élémentaire d'inégalités à partir de $\epsilon \leq x-a$ et $\epsilon \leq b-x$ !
-
C'est pas la peine d'étudier les deux cas $x<\frac{a+b}{2}$ et $x>\frac{a+b}{2}$ parce que c'est là où je bloque ..
S'il vous plaît comment savoir qui est l'info entre x-a et b-x ? -
Mais tu n'en as rien à faire de savoir qui de $x-a$ et $b-x$ est le plus petit ! Il te suffit de savoir que $\epsilon=\min(x-a,b-x)$.
-
Bonsoir, je ne sais pas comment faire sans connaitre le min des deux? mais voila ce que j'ai essayé de faire :
lorsque $b>x>\frac{a+b}{2}$ alors $\inf\{x-a, b-x\}= b-x $ (j'ai calculé la différence) donc pour tout $z\in ]x-\varepsilon, x+\varepsilon[$ on a $|z-x|<\varepsilon=b-x$ ce qui implique $2x-b<z<y$ mais $2x-b>a$ par hypothèse d'ou $z\in ]a,b[$
et je refais la même chose dans le cas $a<x<\frac{a+b}{2}$ : $\inf\{x-a, b-x\}= x-a $ -
Posons $\epsilon=\min(x-a,b-x)$ ; c'est un nombre réel strictement positif, qui verifie $\epsilon \leq x-a$ et $\epsilon \leq b-x$.
Pour tout $y\in\left]x-\epsilon,x+\epsilon\right[$,
$$y < x+\epsilon \leq {?}\qquad\text{et}\qquad y>x-\epsilon \geq {?}$$
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 1
1 Invité