Intervalles ouverts

Bonjour,
je dois montrer que tout point $x$ d'un intervalle ouvert $I$ est centre d'un intervalle $I_x$ inclus dans $I$

Je considère $I=]a,b[$ et je prends $x\in ]a,b[$, le but est de chercher un rayon $\varepsilon>0$ de sorte que $I_x=\,]x-\varepsilon, x+\varepsilon[\,\subset\, ]a,b[$.
C'est dire $\begin{cases} x-\varepsilon &\geq a\\ x+\varepsilon&\leq b\end{cases}$ , ces deux inégalités donnent que $\varepsilon\leq \inf\{x-a, b-x\}$

Comment vérifier l'inclusion : $]x-\varepsilon, x+\varepsilon[\,\subset\, ]a,b[$ ?
Si je considère $\frac{a+b}{2}\leq x\leq b$ , dans ce cas $\varepsilon=x-\frac{a+b}{2}$
Soit $z\in\,]x-\varepsilon, x+\varepsilon[$ alors $ \frac{a+b}{2}<z< 2x-\frac{a+b}{2}$

je n'arrive pa voir que $2x-\frac{a+b}{2}<b$.
Merci de m'aider.